Un défi par semaine

Mars 2018, 4e défi

Le 23 mars 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (6)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 12 :

Combien vaut
$(1\times 1!)+(2\times 2!)+\cdots+(n\times n!)$ ?

($n!=n\times(n-1)\times\cdots\times2\times 1$.)

Solution du 3e défi de Mars :

Enoncé

La réponse est
$a+b=5+6=11$.

Comme $342$ est divisible par $9$, le nombre $100\,900\,b\,02$
doit aussi être divisible par $9$.

Ainsi, la somme de ses chiffres $1+9+b+2=12+b$ doit être divisible par $9$.

Comme $b$ est un chiffre, l’unique possibilité est $b=6$.

Toutefois, $100\,900\,602$ est divisible par $11$ vu que $(1+0+0+6+2)-(0+9+0+0)=0$, mais $342$ ne l’est pas, donc $29a\,031$ doit être divisible par $11$.

Autrement dit, $(2+a+3)-(9+0+1)=a-5$ doit être divisible par $11$. Comme $a$ est un chiffre, l’unique possibilité est $a=5$. Par conséquent, $a+b=5+6=11$.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mars 2018, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Commentaire sur l'article

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  • Mars 2018, 4e défi

    le 23 mars 2018 à 09:50, par Daniate

    Si à la somme cherchée on ajoute terme à terme la somme des factorielles de 1 à n on obtient la somme des factorielles de 2 à n+1. Par soustraction on retrouve le résultat déjà proposé. Ceci n’est qu’une réorganisation du procédé utilisé par Elrigo.

    Répondre à ce message

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