Un défi par semaine

Mars 2018, 4e défi

Le 23 mars 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (6)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 12 :

Combien vaut
$(1\times 1!)+(2\times 2!)+\cdots+(n\times n!)$ ?

($n!=n\times(n-1)\times\cdots\times2\times 1$.)

Solution du 3e défi de Mars :

Enoncé

La réponse est
$a+b=5+6=11$.

Comme $342$ est divisible par $9$, le nombre $100\,900\,b\,02$
doit aussi être divisible par $9$.

Ainsi, la somme de ses chiffres $1+9+b+2=12+b$ doit être divisible par $9$.

Comme $b$ est un chiffre, l’unique possibilité est $b=6$.

Toutefois, $100\,900\,602$ est divisible par $11$ vu que $(1+0+0+6+2)-(0+9+0+0)=0$, mais $342$ ne l’est pas, donc $29a\,031$ doit être divisible par $11$.

Autrement dit, $(2+a+3)-(9+0+1)=a-5$ doit être divisible par $11$. Comme $a$ est un chiffre, l’unique possibilité est $a=5$. Par conséquent, $a+b=5+6=11$.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mars 2018, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

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  • Mars 2018, 4e défi

    le 23 mars 2018 à 13:38, par Niak

    Une petite interprétation combinatoire : soit $\mathfrak{S}_n$ l’ensemble des permutations de $\{1,\ldots,n\}$, de cardinal $n!$, et, pour tout $2 \leq i \leq n$, $E_n(i)$ le sous-ensemble des permutations $\sigma\in\mathfrak{S}_n$ dont $i$ est le plus grand non point-fixe ($\sigma(i)\neq i$ et pour tout $i < j \leq n$, $\sigma(j)=j$). On a $|E_n(i)| = (i-1) \cdot (i-1)!$ (choix de $\sigma(i) < i$ $\times$ choix de la permutation pour les éléments $< i$). Posons par convention $E_n(1)$ le singleton contenant la permutation identité. Alors les $E_n(i)$ forment une partition de $\mathfrak{S}_n$ (chaque permutation est dans l’un et un seul des $E_n(i)$) d’où $|\mathfrak{S}_n| = \sum_{i=1}^n|E_n(i)|$, soit $n! = 1 + 1\cdot 1! + \cdots + (n-1)\cdot(n-1)! = 1+S(n-1)$ pour $S(n)$ la somme de l’énoncé.

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