Un défi par semaine

Mars 2018, 5e défi

Le 30 mars 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (1)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 13

Trouver le plus grand entier positif $d$ qui divise tous les nombres $n(n+1)(2n+1996)$, où $n$ est un entier positif.

Solution du 4e défi de Mars :

Enoncé

La réponse est
$p=(n+1)!-1$.

En effet, soit $p$ la valeur de la somme.

On a alors
\[\begin{eqnarray*} p + 1 & = & 1 + (1\times 1!)+(2\times 2!)+(3\times 3!)+\cdots+(n\times n!)\\ & = & 2!+(2\times 2!)+(3\times 3!)+(4\times 4!)+\cdots+(n\times n!)\\ & = & (3\times 2!)+(3\times 3!)+(4\times 4!)+\cdots+(n\times n!)\\ & = & 3!+(3\times 3!)+(4\times 4!)+\cdots+(n\times n!)\\ & = & (4\times 3!)+(4\times 4!)+\cdots+(n\times n!)\\ & = & (5\times 4!)+\cdots+(n\times n!). \end{eqnarray*}\]

En continuant de cette manière, on obtient $p+1=(n+1)!$. Par conséquent,
$p=(n+1)!-1$.

Article édité par Ana Rechtman

Partager cet article

Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mars 2018, 5e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Commentaire sur l'article

  • Mars 2018, 5e défi

    le 30 mars à 09:48, par Niak

    $2n+1996$ est pair, ainsi que $n(n+1)$ (car soit $n$, soit $n+1$ est pair), donc tous les $a_n = n(n+1)(2n+1996)$ sont divisibles par $4$. De plus, si $n=3k+2$, alors $3$ divise $n+1$ et si $n=3k+1$, alors $3$ divise $2n+1996$, donc $3$ divise toujours les $a_n$ qui sont donc divisibles par $12$. Comme $12$ est le PGCD de $a_1=3996$ et $a_2 = 12000$, on en déduit que c’est aussi la réponse.

    Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?

Suivre IDM