Mars 2018, 5e défi

Le 30 mars 2018 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (1)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 13

Trouver le plus grand entier positif $d$ qui divise tous les nombres $n(n+1)(2n+1996)$, où $n$ est un entier positif.

Solution du 4e défi de Mars :

Enoncé

La réponse est
$p=(n+1)!-1$.

En effet, soit $p$ la valeur de la somme.

On a alors
\[\begin{eqnarray*} p + 1 & = & 1 + (1\times 1!)+(2\times 2!)+(3\times 3!)+\cdots+(n\times n!)\\ & = & 2!+(2\times 2!)+(3\times 3!)+(4\times 4!)+\cdots+(n\times n!)\\ & = & (3\times 2!)+(3\times 3!)+(4\times 4!)+\cdots+(n\times n!)\\ & = & 3!+(3\times 3!)+(4\times 4!)+\cdots+(n\times n!)\\ & = & (4\times 3!)+(4\times 4!)+\cdots+(n\times n!)\\ & = & (5\times 4!)+\cdots+(n\times n!). \end{eqnarray*}\]

En continuant de cette manière, on obtient $p+1=(n+1)!$. Par conséquent,
$p=(n+1)!-1$.

Article édité par Ana Rechtman

Commentaire sur l'article

Mars 2018, 5e défi

le 30 mars 2018 à 09:48, par Niak

$2n+1996$ est pair, ainsi que $n(n+1)$ (car soit $n$, soit $n+1$ est pair), donc tous les $a_n = n(n+1)(2n+1996)$ sont divisibles par $4$. De plus, si $n=3k+2$, alors $3$ divise $n+1$ et si $n=3k+1$, alors $3$ divise $2n+1996$, donc $3$ divise toujours les $a_n$ qui sont donc divisibles par $12$. Comme $12$ est le PGCD de $a_1=3996$ et $a_2 = 12000$, on en déduit que c’est aussi la réponse.
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