Mars 2019, 1er défi

Le 1er mars 2019 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (4)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 9

Nous disposons de $9$ pièces de monnaie à première vue toutes identiques.
En réalité huit sont authentiques et de poids égal mais une est fausse et plus légère que les autres.
Est-il possible d’identifier la fausse pièce en n’effectuant que deux
pesées sur une balance à plateaux ?

Solution du 4e défi de février :

Enoncé

La solution est $4$.

Si nous appelons $a$ et $b$ ces deux nombres positifs, l’énoncé nous dit que
$a+b\leq ab$.

Nous savons aussi que pour une paire de nombres positifs leur moyenne géométrique $\sqrt{ab}$ est inférieure ou égale à
leur moyenne arithmétique $\frac{a+b}{2}$, nous avons donc :

$a+b\leq ab\leq \left( \frac{a+b}{2}\right) ^{2}$, d’où $a+b\leq \frac{(a+b)^2}{4}$,
ainsi $1\leq \frac{a+b}{4}$.

Nous en déduisons que $a+b\geq 4$. De plus, si nous prenons $a=2$ et
$b=2$, nous avons bien $4=a+b\leq ab=4$. Donc la valeur minimale de
$a+b$ est 4. Observons que si $a+b=3$ alors $a+b>ab$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Mars 2019, 1er défi

le 1er mars 2019 à 09:14, par Nico
On prend 6 pièces parmi les 8, et on les pèse 3 à 3.

Si les 2 plateaux sont équilibrés, alors la fausse pièce n’y est pas. Il ne reste plus qu’à comparer les 2 pièces restantes.
Si les 2 plateaux ne sont pas équilibrés, on prend 2 pièces parmi les 3 du plateau le plus léger :
- si les 2 pièces sont égales, alors la dernière est la fausse,
- sinon, la plus légère est la fausse.
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