Un défi par semaine

Mars 2019, 2e défi

Le 8 mars 2019  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (12)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 10

Quels sont les nombres rationnels positifs $r$
tels que
\[r + \dfrac 1r\]
soit un entier ?

Solution du 1er défi de mars :

Enoncé

La solution est oui.

Plaçons trois pièces dans chacun des deux plateaux de la balance.
Si un plateau est plus léger que l’autre nous en déduirons que la fausse pièce est dans ce plateau sinon nous saurons qu’elle est dans les pièces non utilisées pour cette pesée.
À partir de ce groupe de trois pièces où nous savons maintenant que la fausse pièce est présente, nous en prenons deux et nous les disposons chacune sur un plateau de la balance. Si la fausse pièce est sur l’un des plateaux, ce dernier sera plus léger, la balance nous l’indiquera. Si les deux plateaux sont à l’équilibre nous saurons alors que la fausse pièce est celle que nous avions laissée de côté.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mars 2019, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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  • Mars 2019, 2e défi

    le 8 mars 2019 à 14:39, par Niak

    Si $r+\frac{1}{r}=k\geq0$ entier, alors $r^2-kr+1=0$ et $r=\frac{k\pm\sqrt{\Delta}}{2}$ avec $\Delta=k^2-4$ entier. Si l’on admet (résultat bien connu) que $\sqrt{\Delta}$ est rationnel (et entier) si et seulement si $\Delta$ entier est le carré d’un entier $\Delta = l^2$ (avec $l\geq0$), alors $k^2-4=l^2 \Leftrightarrow (k-l)(k+l)=4 = 1\cdot4= 2\cdot 2$ admet une seule solution $(k,l) = (2,0)$ conduisant à $r=1$.

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