Un défi par semaine

Mars 2019, 4e défi

Le 22 mars 2019  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (4)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 12

Trouver tous les entiers strictement positifs $x$
et $y$ tels que \[6 \times \left(x! + 3\right) = y^2 + 5\] (où $x!$ désigne le produit $1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times x$).

Solution du 3e défi de mars :

Enoncé

La solution est : $90$ coutures et $60$ coins.

Les $20 \times 6 = 120$ côtés des hexagones et les $12 \times 5 = 60$ côtés des pentagones constituent ensemble $180$ côtés, que l’on devra coudre deux à deux : on devra donc réaliser $\frac{180}{2}=90$ coutures.

Par ailleurs, chaque « coin » du ballon est au croisement de deux hexagones et d’un pentagone. Pour les compter, il faut donc diviser le nombre total de sommets des hexagones et des pentagones (il y en a en tout $20 \times 6 + 12 \times 5 = 180$) par $3$ : il y a donc $60$ coins.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mars 2019, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Commentaire sur l'article

  • Mars 2019, 4e défi

    le 22 mars à 09:35, par bistraque

    On peut récrire l’équation : 6 . x ! + 13 = y²
    Pour x > 4, x ! est divisible par 10 donc le côté gauche est égal à 3 mod 10 qui ne peut pas être un carré.
    On trouve deux valeurs de x solutions : x=2, y=5 et x=3, y=7

    Répondre à ce message
    • Mars 2019, 4e défi

      le 23 mars à 12:09, par drai.david

      Mon raisonnement est très proche mais un peu moins futé...

      Pour tout $n≥4$ on a : $6 . x ! + 13 ≡13$ $ [24]$

      Or la liste des congruences modulo $24$ de $ y²$ pour $y∈\{0,...,23\}$ est :

      $\{0,1,4,9,16,1,12,1,16,9,4,1,0,1,4,9,16,1,12,1,16,9,4,1\}$.
      OR cette liste ne contient par $13$.

      J’obtiens donc comme vous : $(x;y)∈\{(2;5);(3;7)\}$.

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  • Mars 2019, 4e défi

    le 23 mars à 16:23, par drai.david

    Il faut évidemment lire « Pour tout $x≥4$ » dans le message précédent !

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  • Mars 2019, 4e défi

    le 24 mars à 11:52, par drai.david

    À bien y réfléchir, un raisonnement modulo 8 aurait été suffisant...

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