Un défi par semaine

Mars 2020, 1er défi

Le 6 mars 2020  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (10)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 10

Sur les neuf cartes de Sophie sont écrits les premiers nombres premiers à deux chiffres.
Sophie aimerait ranger ses cartes en ligne de façon à ce que la différence entre les nombres inscrits sur deux cartes voisines soit une puissance de $2$. Combien existe-t-il de rangements différents ?

Solution du 4e défi de février :

Enoncé

Le pentagone est formé de cinq triangles isocèles. Ainsi, la
somme de ses angles intérieurs vaut
$(5-2)\times180^\circ=540^\circ$.

Comme le pentagone est régulier, chacun de ses
angles mesure $\frac{540^\circ}{5}=108^\circ$.

Ainsi, $\widehat{AEG} = 360^\circ- 108^\circ-90^\circ=162^\circ$.

Comme le triangle $AEG$ est isocèle, les angles de la base sont égaux, donc $2 \times \widehat{GAE} + 162^\circ = 180^\circ$, d’où l’on tire $\widehat{GAE} = 9^\circ$.

La solution est $9^\circ$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mars 2020, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Crédits image :

Image à la une - - MURAT BAYSAN / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

  • Mars 2020, 1er défi

    le 6 mars à 09:04, par ROUX

    Aoutch !
    Déjà, en trouver un...
    Les 9 premiers nombres premiers à deux chiffres sont : 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 et 41.
    Les premières puissances de 2 sont 2, 4, 8 et 16.
    J’ai ré-écrit les 9 premiers nombres premiers à deux chiffres en écart par rapport au premier : 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26 et 30.
    J’ai ensuite rangé ces 9 nombres de manière à ce que leurs écarts successifs soient des puissances de 2 : 30 (4) 26 (8) 18 (2) 20 (8) 12 (4) 8 (2) 6 (4) 2 (2) 0 ce qui donne : 41, 37, 29, 31, 23, 19, 17, 13, 11 et inversement.
    Bon, déjà, deux.

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  • Mars 2020, 1er défi

    le 6 mars à 09:31, par Gérard JONEAUX

    On peut établir un tableau mettant en évidence les différences, lorsqu’elles sont une puissance de 2, au signe près : :
    On constate alors que
    La carte 2 avoisine la carte 3.
    La carte 3 peut avoisiner 2, 5, 7, 11 ou 19.
    La carte 5 peut avoisiner 3, 7 ou 13.
    La carte 7 peut avoisiner 3, 5, 11 ou 23.
    etc.
    Cela pourrait représenter un nombre impressionnant de combinaisons (j’ignore si pour les mathématiciens, le mot combinaison convient). Mais il faut que chacune des cartes apparaisse une fois et une seule, ce qui nous laisse les deux possibilités des nombres triés : 2, 3, 5, 7... et 23, 19, 17, 13 ...

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  • Mars 2020, 1er défi

    le 6 mars à 09:46, par Gérard JONEAUX

    Re-bonjour,
    Je viens de relire le texte de la question : il s’agit des nombres de 2 chiffres, donc non pas 2, 3, 5, 7 ... mais 11, 13, 17, 19 etc.. Cela nous laisse toujours les deux solutions triées, reste soit à en trouver d’autres, soit à démontrer qu’elles sont uniques

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  • Mars 2020, 1er défi

    le 6 mars à 10:07, par Gérard JONEAUX

    Ca ne marche pas !!!
    En effet, 29 - 23 = 6, qui n’est pas une puissance de 2.
    Le problème est très difficile, mais passionnant.
    Bon courage !

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  • Mars 2020, 1er défi ..... 4 listes possibles exactement

    le 6 mars à 10:40, par Sebaoun Alain

    Il y a exactement 4 listes répondant à la question :

    les voila !

    (11, 13, 17, 19, 23, 31, 29, 37, 41)

    (17, 13, 11, 19, 23, 31, 29, 37, 41)

    (41, 37, 29, 31, 23, 19, 11, 13, 17)

    (41, 37, 29, 31, 23, 19, 17, 13, 11)

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    • Mars 2020, 1er défi ..... 4 listes possibles exactement

      le 6 mars à 11:00, par Sebaoun Alain

      On peut déjà remarquer que, si une liste est solution, alors la liste inversée est aussi solution !
      Il y a donc un nombre pair de solution !

      De plus, si on considère le nombre 41, il n’y a dans la liste initiale q’un seul nombre premier b tel que (41-b) soit une puissance 2 .. et c’est 37...

      et dans la liste .. il n’a que 2 nombres premiers b tels que |37-b- soit une puissance de 2 .. et ce sont 41 et 29

      et pour 29 ... il n’y que 2 nombres premiers b tels que |29-b| soit une puissance de 2 .. et ce sont 31 et 37

      etc .. etc .. on obtient qu’un liste répondant à la question commence nécessairement par :

      (41, 37, 29, 31, 23,19) ou finit par (19, 23, 31, 29, 37, 41)

      On finit alors les listes possibles !

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  • Mars 2020, 1er défi

    le 6 mars à 11:26, par Gérard JONEAUX

    Voici un tableau permettant de trouver les solutions possibles :
    Chaque colonne a en en-tête un nombre premier, et la liste des nombres qui peuvent l’avoisiner.
    en navigant ainsi, on peut trouver
    17, 13, 11, 19, 23, 31, 29, 37, 41 et la liste inverse. Je n’en trouve pas d’autre.

    Document joint : defi.jpg
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  • Mars 2020, 1er défi

    le 6 mars à 11:47, par Blaxapate

    Ce problème me fait penser à d’autres problèmes similaires. Une méthode générale pour les résoudre est de les transformer en graphes : un sommet pour chaque nombre dans la liste (ici, 9) et une arrête entre 2 nombres dont la différence satisfait la contrainte. Une fois le graphe dessiné, il faut trouver un chemin hamiltonien, c’est-à-dire un chemin qui passe par tous les points une seule fois.

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    • Mars 2020, 1er défi

      le 6 mars à 13:32, par Niak

      Même approche pour moi , cf. graphe joint. Comme $41$ a un seul voisin, on est obligé de commencer, ou finir, par ce sommet. Disons que l’on commence donc par $41\rightarrow37\rightarrow29$. On ne peut alors continuer par $13$ car choisir $11$ ensuite exclurait de revenir un jour en $17$ et réciproquement. On doit donc continuer par $29\rightarrow31\rightarrow23\rightarrow19$ et l’on a alors deux fins possibles, $19\rightarrow17\rightarrow13\rightarrow11$ ou $19\rightarrow11\rightarrow13\rightarrow17$.
      D’où quatre solutions au total, les deux précédentes commençant par $41$ et leurs miroirs.

      Document joint : graphe_defi.pdf
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  • Mars 2020, 1er défi

    le 6 mars à 18:35, par Lhooq

    Problème intéressant en ce sens qu’on peut chercher des solutions pour plus de nombres premiers, pour des nombres différents etc. J’ai donc fait un programme en Rust qui, très simplement, construit le graphe dont les sommets sont des nombres premiers et deux sommets ont une arête en commun si leur différence est une puissance de 2.

    J’ai ensuite cherché dans mon graphe l’ensemble des chemins hamiltoniens par retour en arrière qui est une forme de programmation dynamique (on part d’un sommet qu’on supprime du graphe, pour le graphe restant on cherche à générer l’ensemble des chemins hamiltoniens partant des voisins du sommet supprimé. On voit bien qu’à partir du moment où on a supprimé le premier sommet on revient au même problème mais avec un sommet en moins. La recherche termine forcément car à chaque étape on supprime un sommet du graphe et ce nombre est fini (eh oui, les informaticiens/algorithmiciens aiment bien assurer que leurs programmes terminent).

    Pour 9 à partir de 10 on trouve bien les 4 chemins trouvés :

    [11, 13, 17, 19, 23, 31, 29, 37, 41]
    [17, 13, 11, 19, 23, 31, 29, 37, 41]
    [41, 37, 29, 31, 23, 19, 11, 13, 17]
    [41, 37, 29, 31, 23, 19, 17, 13, 11]

    Par contre pour les 12 premiers nombres premiers supérieurs à 10 il n’y a aucune solution ni pour 13...16 et on retrouve des solutions pour 17.

    Voilà le programme pour celles et ceux qui voudraient s’amuser : ici

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