Un défi par semaine
Mars 2020, 2e défi
Le 13 mars 2020 Voir les commentaires (7)Lire l'article en
Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !
Sur la figure ci-dessous, cinq allumettes forment deux triangles.
Si l’on dispose de $21$ allumettes, comment peut-on former trois carrés et sept triangles ?
Solution du 1er défi de mars :
Les neuf premiers nombres premiers à deux chiffres sont : 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 et 41.
Les puissances de $2$ possibles sont : 1, 2, 4, 8 et 16, puisque la différence entre $41$ et $11$ est de $30$.
Sur la figure suivante, on a connecté les nombres premiers ayant une différence d’une puissance de $2$.
Puisque $41$ est le seul nombre premier connecté à un seul autre nombre premier, n’importe quel arrangement de cartes doit commencer (ou terminer) par $41$, $37$, $29$.
Si l’arrangement de cartes continue avec le $31$, alors ce doit être 41, 37, 29, 31, 23, 19.
Après $19$, Sophie a deux options : $19, 17, 13, 11$ ou $19, 11, 13, 17$.
Ces deux arrangements sont valides.
Si après $29$ l’arrangement continue avec $13$ au lieu de $31$, alors il faut ensuite choisir entre $11$ et $17$.
Dans les deux cas, il faut continuer avec $19$. On aura alors deux arrangements possibles :
$41, 37, 29, 13, 11, 19$ ou $41, 37, 29, 13, 17, 19$.
Après il faudrait avoir $11$ ou $17$, suivant le nombre que l’on avait choisi avant $19$, mais on ne pourra plus placer les nombres $23$ et $31$.
Et si on décide de placer $23$ puis $31$, alors on sera aussi dans l’incapacité de placer le $11$ ou le $17$.
Ainsi, les seuls arrangements possibles sont : 41, 37, 29, 31, 23, 19,
17, 13, 11 ou 41, 37, 29, 31, 23, 19, 11, 13, 17,
et les arrangements en sens inverse. Il y a donc quatre possibilités différentes.
La solution est quatre possibilités.
Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.
Disponible en librairie et sur www.pug.fr
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Pour citer cet article :
Ana Rechtman — «Mars 2020, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020
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