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Un défi par semaine

Mars 2020, 2e défi

Le 13 mars 2020 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (7)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 11

Sur la figure ci-dessous, cinq allumettes forment deux triangles.
Si l’on dispose de $21$ allumettes, comment peut-on former trois carrés et sept triangles ?

Solution du 1er défi de mars :

Enoncé

Les neuf premiers nombres premiers à deux chiffres sont : 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 et 41.

Les puissances de $2$ possibles sont : 1, 2, 4, 8 et 16, puisque la différence entre $41$ et $11$ est de $30$.

Sur la figure suivante, on a connecté les nombres premiers ayant une différence d’une puissance de $2$.

Puisque $41$ est le seul nombre premier connecté à un seul autre nombre premier, n’importe quel arrangement de cartes doit commencer (ou terminer) par $41$, $37$, $29$.

Si l’arrangement de cartes continue avec le $31$, alors ce doit être 41, 37, 29, 31, 23, 19.

Après $19$, Sophie a deux options : $19, 17, 13, 11$ ou $19, 11, 13, 17$.
Ces deux arrangements sont valides.

Si après $29$ l’arrangement continue avec $13$ au lieu de $31$, alors il faut ensuite choisir entre $11$ et $17$.

Dans les deux cas, il faut continuer avec $19$. On aura alors deux arrangements possibles :
$41, 37, 29, 13, 11, 19$ ou $41, 37, 29, 13, 17, 19$.

Après il faudrait avoir $11$ ou $17$, suivant le nombre que l’on avait choisi avant $19$, mais on ne pourra plus placer les nombres $23$ et $31$.

Et si on décide de placer $23$ puis $31$, alors on sera aussi dans l’incapacité de placer le $11$ ou le $17$.

Ainsi, les seuls arrangements possibles sont : 41, 37, 29, 31, 23, 19,
17, 13, 11 ou 41, 37, 29, 31, 23, 19, 11, 13, 17,
et les arrangements en sens inverse. Il y a donc quatre possibilités différentes.

La solution est quatre possibilités.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Mars 2020, 2e défi

le 13 mars à 08:25, par Gérard JONEAUX

Avec 20 allumettes de taille égale, on peut aisément construire 3 carrés (sacrifiant ainsi 10 allumettes), puis compléter avec 6 triangles isocèles (+ 10 allumettes).
Reste l’allumette rouge sur le schéma.
Tant pis, le 7ème triangle ne sera pas isocèle.
Document joint : defiy.jpg
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Mars 2020, 2e défi

le 13 mars à 13:24, par FredM

Bonjour,
En optimisant le pavage sur la base du triangle, on garde des triangles équilatéraux.
Du coup, avec 4 allumettes de plus, on a un truc symétrique avec 4 carrés et 8 triangles.
F
Document joint : imdesmaths1.jpg
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Mars 2020, 2e défi

le 13 mars à 13:24, par amic

un triangle au milieu (3)
trois carrés montés sur les côtés de ce triangle (9)
six triangles sur les bords des carrés partant des sommets du triangle initial (9).
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Mars 2020, 2e défi

le 13 mars à 14:52, par Niak

Une petite image (obtenue en modifiant un patron de cuboctaèdre).
Document joint : defi.svg
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Mars 2020, 2e défi

le 13 mars à 15:04, par Niak

1. Le message précédent aurait bien sûr dû être posté en réponse à la construction déjà décrite par amic.
2. Apparemment les images SVG ne passent pas (le fichier joint n’est pas du tout celui posté) donc en revoici une version PNG.
Document joint : defi.png
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Mars 2020, 2e défi

le 13 mars à 16:14, par Niak

En revanche, on peut directement insérer le SVG dans le message :

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Mars 2020, 2e défi

le 16 mars à 23:03, par pogarreau

Nulle part il est mentionné qu’il faille être en dimension 2. Dans ce cas, en dimension 3, il y a une solution avec 15 allumettes seulement. Et si on dispose de 21 allumettes, on peut faire bien plus, je vous laisse trouver.
Document joint : rhomb-3d.jpg
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