Un défi par semaine

Mars 2020, 4e défi

Le 27 mars 2020  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (7)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 13

Trouver tous les nombres entiers positifs à quatre chiffres, qui sont égaux au cube de la somme des chiffres qui les constituent.

Solution du 3e défi de mars :

Enoncé

Notons $x$ la longueur d’un côté du petit carré à gauche, et $y$ la longueur d’un côté du carré de droite.
Si l’on construit un carré de côté $x+y$ qui contient le carré du
milieu (le carré incliné), on voit alors apparaître quatre triangles
semblables.

Le triangle coloré du côté gauche de la figure a alors pour base $x$ et pour hauteur $x+y-x=y$, et le triangle coloré de droite a pour base $y$ et pour hauteur $x+y-y=x$.

Ainsi, l’aire de chacun de ces triangles vaut $\frac{xy}{2}$ et ils ont donc la même aire.

La réponse est oui.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mars 2020, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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  • MURAT BAYSAN / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

  • Mars 2020, 4e défi

    le 27 mars à 09:24, par jokemath

    On cherche un nombre dont le cube est compris entre 1000 et 9999, il y a 12 réponses de 10 à 21, leurs cubes sont 1000, 1331, 1728, 2197, 2744, 3375, 4096, 4913, 5832, 6859, 8000 et 9261.
    On calcule la somme des chiffres des 12 cubes obtenus, et on retient les nombres correspondants à la valeur de départ.
    On obtient 2 résultats qui sont 17 et 18.
    17 au cube égale 4913 et 17 = 4+9+1+3.
    18 au cube égale 5832 et 18 = 5+8+3+2.

    Les nombres cherchés sont donc 4913 et 5832.

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  • Mars 2020, 4e défi

    le 27 mars à 09:40, par Didier Roche

    Même démarche et même résultat.

    Répondre à ce message
  • Mars 2020, 4e défi

    le 27 mars à 11:28, par FDesnoyer

    En tant que notoirement meilleur en programmation qu’en arithmétique,
    y’a Python qui m’a dit « 4913 » et « 5832 »

    F.D.

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  • Mars 2020, 4e défi

    le 27 mars à 13:08, par Gérard JONEAUX

    Au secours excel !
    J’aligne le nombre, son premier chiffre, le 2eme, 3eme, 4eme, la somme des cubes, puis 1 si égalité, rien sinon
    ligne suivante nombre +1, etc et je regarde, cela donne
    0000
    0001
    0512
    4913
    5832
    Les nombres trouvés n’ont rien de remarquable ; quel raisonnement mathématique pourrait trouver ce résultat ?

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  • Mars 2020, 4e défi

    le 27 mars à 17:19, par Didier Roche

    Les naturels < 100 000 vérifiant la règle sont :
    0,1,512,4913,5832,17576,19683.

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    • Mars 2020, 4e défi

      le 30 mars à 20:58, par Blaxapate

      Et ce sont les seuls ! Si un nombre $n$ à $c$ chiffres est égal au cube de la somme de ses chiffres, alors $n<(c*9)^3$. Quand $c=7$, $(c*9)^3=250047$, donc $n$ ne peut pas avoir 7 chiffres, et puisque $c^3$ grandit moins vite que $10^c$, le même argument fonctionne pour $c>7$. Il ne reste plus qu’à faire tourner un ordinateur pour vérifier tous les nombres plus petits qu’un million.

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      • Mars 2020, 4e défi

        le 1er avril à 14:52, par Didier Roche

        En reprenant votre idée, je considère un naturel N s’écrivant avec p chiffres.
        Soit N= a(p-1)*10^p-1 + a(p-2)*10^p-2 + ………….+a(1)*10^1 + a(0) avec a(p-1) >=1 .
        On a N=( a(p-1) + a(p-2) +...……….+a(1)+a(0))^3.
        Or 1*10^p-1 <= N et ( a(p-1) + a(p-2) +...……….+a(1)+a(0))^3 <= (p*9)^3
        D’où 10^p-1 <= p^3*729 ou 10^(p-1):p^3 <=729.
        Nous trouvons p <=6
        Et ensuite nous aboutissons à votre conclusion.

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