Un défi par semaine

Mars 2021, 1er défi

Le 5 mars 2021  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (9)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2021 est en vente ! Il s’intitule : « Le ciel dans tous ses états ».

De janvier à décembre, à travers 12 textes superbement illustrés, découvrez l’histoire des équations cachées dans les trajectoires des planètes et des étoiles ainsi que le développement des grandes théories qui ont accompagné cette ­aventure.

Semaine 10
Prenons un nombre entier $k$ et supposons que l’équation $x^{10}+kx^2+4=0$ possède une solution entière.
Quelles sont alors les valeurs possibles pour $k$ ?

Solution du 4e défi de février :

Enoncé

La réponse est $7$ cm.

L’aire totale des trois carrés est la somme des aires des parties sans aucune intersection, à laquelle s’ajoute deux fois l’aire des intersections, puisque chacune des intersections appartient à deux des carrés.

Ainsi, l’aire totale est \[117+2(2+5+8)=117+2\times15=117+30=147~cm^2\]

Par conséquent, l’aire d’un des carrés est égale à $49$ cm$^2$, ce qui nous permet de conclure que la longueur d’un côté est de $7$ cm.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2021 - Sous la direction d’Ana Rechtman,

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mars 2021, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

Commentaire sur l'article

  • Mars 2021, 1er défi

    le 5 mars à 09:00, par François

    Je prends l’égalité $x^{10}+kx^2+4=0$ modulo $x^2$, on obtient $4\equiv 0$ modulo $x^2$. Donc $4$ est un multiple de $x^2$ et $x^2=4$. alors $4^5+4k+4=0$ donne $k=-257$ seule solution possible.

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    • Mars 2021, 1er défi

      le 5 mars à 09:17, par Al_louarn

      Il y a $2$ solutions car $x^2$ est un diviseur carré de $4$, donc $x^2=1$ ou $x^2=4$, ce qui donne respectivement $k=-5$ et $k=-257$.

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      • Mars 2021, 1er défi

        le 5 mars à 10:20, par François

        Vous avez raison ! A vrai dire je ne pense jamais à faire modulo $1$.

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    • Mars 2021, 1er défi

      le 5 mars à 09:28, par Nico

      Bonjour,
      Je pense qu’il y a une erreur de raisonnement, parce que clairement avec x = 1 on trouve que k = -5 comme solution évidente qui satisfait au problème.

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      • Mars 2021, 1er défi

        le 7 mars à 17:16, par claude

        x^10+(x^2)k+4=0 —> x^2(x^8+k)=-4 =1*-4 ou =2*-2 ou =4*-1
        x^2 est positif donc
        x^2=1 ce qui entraîne x^8+k=-4 —> x=1 (ou-1) et k=-4-1^8 ; k=-5
        ou x^2=2 —> x=√2 pas possible puisque x est entier
        ou x^2=4 ce qui entraîne x^8+k=-1 —> x=2 (ou -2) et k=-1-2^8 ; k=-257
        Donc 2 solutions si x entier, 3 solutions si x reel (la 3° : x=√2, k=-20)

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  • Mars 2021, 1er défi

    le 7 mars à 18:31, par olivier

    4 = - x^2 (x^5 + k)
    Donc x^2 divise 4
    Donc x ne peut prendre que trois valeurs : -2 ou 1 ou 2
    x = 1 convient et fournit la valeur de k= -5
    x = 2 convient et fournit la valeur de k = -257
    x = -2 convient et fournit la valeur de k = 257

    -257, -5, 257 sont donc toutes les valeurs possibles de k, respectivement associées aux valeurs de x : 2, 1 et -2

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    • Mars 2021, 1er défi

      le 9 mars à 16:54, par PGBriis

      je ne suis pas sur de bien comprendre l’enoncé : avec k entier et une solution entiere, je ne vois pas comment la somme de trois nombres positifs (dont l’un est non nul) pourrait etre nulle !
      sauf si la solution est imaginaire :-)

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      • Mars 2021, 1er défi

        le 9 mars à 19:07, par Al_louarn

        L’énoncé parle de nombres entiers, donc sous-entendu des entiers relatifs, donc pas forcément des entiers naturels.

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    • Mars 2021, 1er défi

      le 9 mars à 19:04, par Al_louarn

      Non, $4 = -x^2(x^8+k)$ et donc $x$ peut prendre $4$ valeurs : $-1,1,-2,2$, qui ne donnent que $2$ valeurs de $k$ : $-5,-257$. Avec un $k>0$ dans l’équation de départ on ne pourrait pas obtenir $0$.

      Répondre à ce message

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