Un défi par semaine

Mars 2021, 2e défi

El 12 marzo 2021  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (1)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2021 est en vente ! Il s’intitule : «Le ciel dans tous ses états».

De janvier à décembre, à travers 12 textes superbement illustrés, découvrez l’histoire des équations cachées dans les trajectoires des planètes et des étoiles ainsi que le développement des grandes théories qui ont accompagné cette ­aventure.

Semaine 11

On dispose d’un dé à seulement quatre faces numérotées $1$, $3$, $5$, $7$ et d’un autre dé à huit faces numérotées $2$, $4$, $6$, $8$, $10$, $12$, $14$, $16$.
Pour les deux dés, chaque face a la même probabilité de sortir lors d’un lancer.
Quelle est la probabilité qu’en lançant les deux dés à la fois, la somme des deux faces soit de $11$?

Solution du 1er défi de mars :

Enoncé

La réponse est $-5$ et $-257$.

Soit $r$ une solution entière de $P(x)=x^{10}+kx^2+4$.

Nous savons qu’il en existe au moins une. Nous avons alors :
\[P(r)=r^{10}+kr^2+4=0\].

Puisque $r^2$ est diviseur de $r^{10}$ et $kr^2$, il est aussi diviseur de $4$.

Donc les valeurs de $r^2$ sont : $r^2=1, 2$ ou $4$. Comme $r^2$ est le carré d’un entier, $r^2$ ne peut pas valoir $2$.

Ainsi, $r=\pm 1$ ou $r=\pm 2$.

  • Si $r= \pm 1$, en substituant $r$ par cette valeur dans l’équation, nous obtenons que $1+k+4=0$, d’où $k=-5$.
  • Si $r= \pm 2$, on a $2^{10} + 4k+4=0$, d’où $k=\frac{2^{10}+4}{-4}=-(2^8+1)=-257$.
  • Ainsi, les seules possibilités pour les valeurs de $k$ sont $-5$ et $-257$.
Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2021 - Sous la direction d’Ana Rechtman,

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Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Mars 2021, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

Comentario sobre el artículo

  • Mars 2021, 2e défi

    le 12 de marzo de 2021 à 09:03, par Al_louarn

    On remarque que chaque face du «dé impair» a son complémentaire à $11$ sur le dé à $8$ faces, donc la réponse est $\dfrac{1}{8}$. Et ça reste vrai même si les faces impaires ne sont pas équiprobables.

    Répondre à ce message

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