Mars 2021, 2e défi

Le 12 mars 2021 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (1)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2021 est en vente ! Il s’intitule : « Le ciel dans tous ses états ».

De janvier à décembre, à travers 12 textes superbement illustrés, découvrez l’histoire des équations cachées dans les trajectoires des planètes et des étoiles ainsi que le développement des grandes théories qui ont accompagné cette aventure.

Semaine 11

On dispose d’un dé à seulement quatre faces numérotées $1$, $3$, $5$, $7$ et d’un autre dé à huit faces numérotées $2$, $4$, $6$, $8$, $10$, $12$, $14$, $16$.
Pour les deux dés, chaque face a la même probabilité de sortir lors d’un lancer.
Quelle est la probabilité qu’en lançant les deux dés à la fois, la somme des deux faces soit de $11$ ?

Solution du 1er défi de mars :

Enoncé

La réponse est $-5$ et $-257$.

Soit $r$ une solution entière de $P(x)=x^{10}+kx^2+4$.

Nous savons qu’il en existe au moins une. Nous avons alors :
\[P(r)=r^{10}+kr^2+4=0\].

Puisque $r^2$ est diviseur de $r^{10}$ et $kr^2$, il est aussi diviseur de $4$.

Donc les valeurs de $r^2$ sont : $r^2=1, 2$ ou $4$. Comme $r^2$ est le carré d’un entier, $r^2$ ne peut pas valoir $2$.

Ainsi, $r=\pm 1$ ou $r=\pm 2$.

Si $r= \pm 1$, en substituant $r$ par cette valeur dans l’équation, nous obtenons que $1+k+4=0$, d’où $k=-5$.

Si $r= \pm 2$, on a $2^{10} + 4k+4=0$, d’où $k=\frac{2^{10}+4}{-4}=-(2^8+1)=-257$.

Ainsi, les seules possibilités pour les valeurs de $k$ sont $-5$ et $-257$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2021 - Sous la direction d’Ana Rechtman,

Commentaire sur l'article

Mars 2021, 2e défi

le 12 mars 2021 à 09:03, par Al_louarn

On remarque que chaque face du « dé impair » a son complémentaire à $11$ sur le dé à $8$ faces, donc la réponse est $\dfrac{1}{8}$. Et ça reste vrai même si les faces impaires ne sont pas équiprobables.
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