Un défi par semaine

Mars 2021, 4e défi

Le 26 mars 2021  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (7)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2021 est en vente ! Il s’intitule : « Le ciel dans tous ses états ».

De janvier à décembre, à travers 12 textes superbement illustrés, découvrez l’histoire des équations cachées dans les trajectoires des planètes et des étoiles ainsi que le développement des grandes théories qui ont accompagné cette ­aventure.

Semaine 13

En prenant un nombre à deux chiffres qui est le carré d’un entier, quelle est la probabilité qu’en ajoutant un chiffre de $1$ à $9$ à sa gauche on obtienne un multiple de $11$ ?

Solution du 3e défi de mars :

Enoncé

La réponse est $1042$.

Soient $a$, $b$, $c$ les nombres de Wookies qui soutiennent respectivement l’équipe $A$, l’équipe $B$ et l’équipe $C$.

Soient $x$, $y$, $z$ les nombres de Jawas qui soutiennent respectivement l’équipe $A$, l’équipe $B$ et l’équipe $C$.

Nous avons déjà : $a+b+c+x+y+z=2021$, puisque chaque habitant soutient une équipe et une seule.

Il nous reste à trouver $a+b+c$ pour connaître le nombre de Wookies.

  • Il est clair que le nombre de réponses $oui$ faites par les Wookies est $a+b+c$, puisqu’ils disent toujours la vérité.
    Il nous faut encore analyser les réponses des Jawas.

Puisqu’un Jawa ment toujours, un Jawa qui soutient par exemple l’équipe $A$ va répondre deux fois $oui$, pour dire qu’il soutient l’équipe $B$ et $C$ et une fois $non$ lorsqu’on lui demande pour l’équipe $A$.

Le nombre de réponses $oui$ pour les Jawas est donc de $2x+2y+2z$.

  • Nous avons donc, $a+b+c+2x+2y+2z=3000$, d’où

\[3000=(a+b+c+x+y+z)+(x+y+z)=2021+x+y+z.\]
Ainsi, $x+y+z=3000-2021=979$, et
\[a+b+c=2021-(x+y+z)=2021-979=1042.\]

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2021 - Sous la direction d’Ana Rechtman,

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mars 2021, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

Commentaire sur l'article

  • Mars 2021, 4e défi

    le 26 mars à 08:40, par Christophe Boilley

    Pour parler de probabilité, il faudrait préciser où est le hasard ici. S’il s’agit de prendre un chiffre entre 1 et 9 au hasard (de façon équiprobable), la probabilité est la même quelle que soit le carré choisi, donc elle a aussi la même valeur si le carré est choisi au hasard.

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    • Mars 2021, 4e défi

      le 26 mars à 09:10, par bistraque

      Si on note $abc$ un nombre divisible par 11, le critère de divisibilité nous dit que $a = b - c [11]$. $b$ et $c$ étant fixés, on ne peut trouver qu’un seul $a$ au plus parmi les nombres $1$ à $9$. Les deux cas où il n’y a pas de valeur possible sont $0$ et $10$ (ou $-1$).
      Pour les nombres $bc$ carrés, $b-c$ est toujours différent de $0$ ou $-1$, donc la probabilité est bien $1/9$

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  • Mars 2021, 4e défi

    le 26 mars à 09:18, par Al_louarn

    Il y a $6$ carrés d’entiers s’écrivant avec $2$ chiffres : $16,25,36,49,64,81$
    En ajoutant un chiffre entre $1$ et $9$ à gauche on obtient donc $9 \times 6=54$ nombres à $3$ chiffres.
    Un tel nombre est multiple de $11$ si et seulement si le chiffre des dizaines est la somme des $2$ autres chiffres.
    Il faut donc que le chiffre des dizaines soit strictement supérieur au chiffre des unités, et que leur différence soit le chiffre des centaines.
    Les seuls carrés qui conviennent sont $64$ et $81$, et les mutiples de $11$ associés sont $264$ et $781$.
    La probabilité demandée est donc $\dfrac{2}{54}=\dfrac{1}{27}=3^{-3}$

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    • Mars 2021, 4e défi

      le 26 mars à 10:24, par bistraque

      Il manque 616, 825, 836 et 649. Le critère de divisibilité doit s’appliquer modulo 11

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    • Mars 2021, 4e défi

      le 26 mars à 11:12, par ROUX

      La somme des chiffres aux places impaires moins la somme des chiffres aux places paires est un multiple de $11$.
      $c25$ donc $c + 2 - 5 =11*k$ donc $c=-3+11*k$ ou $c=8$.
      $825$ est divisible par $11$.
      $825/11=75$.
      Donc pas seulement $64$ et $81$ : $25$ convient aussi.
      Sans doute les autres carrés aussi.

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    • Mars 2021, 4e défi

      le 26 mars à 13:24, par Niak

      L’erreur vient de « si et seulement si le chiffre des dizaines est la somme des 2 autres chiffres ».
      S’il est vrai que $11(10a+b) = 100a + 10(a+b) + b$, il est en revanche possible d’avoir $a+b\geq10$, par exemple $11\times56 = 616$.

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  • Mars 2021, 4e défi

    le 26 mars à 12:33, par ROUX

    $ba$ et $cba$ est multiple de $11$.
    Si $cba$ est multiple de $11$ c’est que $c + a - b = 11.k$.
    $a - b = \Delta$
    $c = 11.k - \Delta$
    Comme $1 \le c \le 9$ alors $1 \le 11.k - \Delta \le 9$
    Pour $k = 0$, $-9 \le \Delta \le -1$ donc si le nombre des dizaines est toujours plus grand que le nombre des unités de au moins $1$ alors on aura toujours un $c$ qui va.
    Exemples : $73$ donc $473$ $(473/11 = 43)$ et $10$ donc $110$ $(110/11=10)$
    Pour $k = 1$ si le nombre des unités est toujours plus grand que le nombre des dizaines de au moins $2$ alors on aura toujours un $c$ qui va.
    Exemples $35$ donc $935$ $(935/11=85)$ et $19$ donc $319$ $(319/11=29)$

    Ouf !

    $16$ : oui ; $25$ : oui ; $36$ : oui ; $49$ : oui ; $64$ : oui et $81$ : oui.

    Donc ça marche pour les $6$ carrés.

    Aurais-je pu démontrer que les carrés à deux chiffres ont nécessairement des chiffres des dizaines et des unités qui obéissent toujours aux deux conditions ?

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