Commentaire sur l'article

• Mars 2021, 4e défi

  le 26 mars 2021 à 08:40, par Christophe Boilley

  Pour parler de probabilité, il faudrait préciser où est le hasard ici. S’il s’agit de prendre un chiffre entre 1 et 9 au hasard (de façon équiprobable), la probabilité est la même quelle que soit le carré choisi, donc elle a aussi la même valeur si le carré est choisi au hasard.

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• Mars 2021, 4e défi

  le 26 mars 2021 à 09:10, par bistraque

  Si on note $abc$ un nombre divisible par 11, le critère de divisibilité nous dit que $a = b - c [11]$. $b$ et $c$ étant fixés, on ne peut trouver qu’un seul $a$ au plus parmi les nombres $1$ à $9$. Les deux cas où il n’y a pas de valeur possible sont $0$ et $10$ (ou $-1$).
  Pour les nombres $bc$ carrés, $b-c$ est toujours différent de $0$ ou $-1$, donc la probabilité est bien $1/9$

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• Mars 2021, 4e défi

  le 26 mars 2021 à 09:18, par Al_louarn

  Il y a $6$ carrés d’entiers s’écrivant avec $2$ chiffres : $16,25,36,49,64,81$
  En ajoutant un chiffre entre $1$ et $9$ à gauche on obtient donc $9 \times 6=54$ nombres à $3$ chiffres.
  Un tel nombre est multiple de $11$ si et seulement si le chiffre des dizaines est la somme des $2$ autres chiffres.
  Il faut donc que le chiffre des dizaines soit strictement supérieur au chiffre des unités, et que leur différence soit le chiffre des centaines.
  Les seuls carrés qui conviennent sont $64$ et $81$, et les mutiples de $11$ associés sont $264$ et $781$.
  La probabilité demandée est donc $\dfrac{2}{54}=\dfrac{1}{27}=3^{-3}$

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• Mars 2021, 4e défi

  le 26 mars 2021 à 10:24, par bistraque

  Il manque 616, 825, 836 et 649. Le critère de divisibilité doit s’appliquer modulo 11

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• Mars 2021, 4e défi

  le 26 mars 2021 à 11:12, par ROUX

  La somme des chiffres aux places impaires moins la somme des chiffres aux places paires est un multiple de $11$.
  $c25$ donc $c + 2 - 5 =11*k$ donc $c=-3+11*k$ ou $c=8$.
  $825$ est divisible par $11$.
  $825/11=75$.
  Donc pas seulement $64$ et $81$ : $25$ convient aussi.
  Sans doute les autres carrés aussi.

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• Mars 2021, 4e défi

  le 26 mars 2021 à 13:24, par Niak

  L’erreur vient de « si et seulement si le chiffre des dizaines est la somme des 2 autres chiffres ».
  S’il est vrai que $11(10a+b) = 100a + 10(a+b) + b$, il est en revanche possible d’avoir $a+b\geq10$, par exemple $11\times56 = 616$.

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• Mars 2021, 4e défi

  le 26 mars 2021 à 12:33, par ROUX

  $ba$ et $cba$ est multiple de $11$.
  Si $cba$ est multiple de $11$ c’est que $c + a - b = 11.k$.
  $a - b = \Delta$
  $c = 11.k - \Delta$
  Comme $1 \le c \le 9$ alors $1 \le 11.k - \Delta \le 9$
  Pour $k = 0$, $-9 \le \Delta \le -1$ donc si le nombre des dizaines est toujours plus grand que le nombre des unités de au moins $1$ alors on aura toujours un $c$ qui va.
  Exemples : $73$ donc $473$ $(473/11 = 43)$ et $10$ donc $110$ $(110/11=10)$
  Pour $k = 1$ si le nombre des unités est toujours plus grand que le nombre des dizaines de au moins $2$ alors on aura toujours un $c$ qui va.
  Exemples $35$ donc $935$ $(935/11=85)$ et $19$ donc $319$ $(319/11=29)$

  Ouf !

  $16$ : oui ; $25$ : oui ; $36$ : oui ; $49$ : oui ; $64$ : oui et $81$ : oui.

  Donc ça marche pour les $6$ carrés.

  Aurais-je pu démontrer que les carrés à deux chiffres ont nécessairement des chiffres des dizaines et des unités qui obéissent toujours aux deux conditions ?

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