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Un défi par semaine

Mars 2014, 2ème défi

Le 14 mars 2014  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (2)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 11 :

On a $9$ boutons lumineux de couleur verte ou rouge. En
appuyant sur un bouton, les couleurs des boutons adjacents changent,
mais pas ceux adjacents en diagonale. Si tous les boutons sont verts, est-il possible d’appuyer sur certains boutons pour qu’ils deviennent tous rouges ?

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Solution du 1er défi de mars

Enoncé

Les couples qui satisfont l’équation sont $(10,191)$, $(20,161)$, $(30,111)$ et $(40,41)$.

On a $a^2=10(201-b)$, donc $201-b=10x^2$ pour un certain entier positif $x$, vu que de cette façon $10(201-b)=10^2x^2$. Comme $b\geq 1$, il en résulte que
$x^2=\frac{201-b}{10}\leq \frac{201-1}{10}=20$, c’est-à-dire
$x\leq \sqrt{20}<5$. Par conséquent, les valeurs possibles de
$x$ sont $1,2,3$ et $4$, et les solutions correspondantes sont $(10,191)$, $(20,161)$, $(30,111)$ et $(40,41)$.

Post-scriptum :

Pour en savoir plus sur l’image du mois de mars, La courbe de Menger par Étienne Ghys et Jos Leys.

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mars 2014, 2ème défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - La courbe de Menger, par Jos Leys

Commentaire sur l'article

  • Mars, 2ème défi

    le 14 mars 2014 à 08:12, par Lina

    Impossible. Les boutons sont numérotés de 1 à 9 dans le sens de l’écriture. 1 rouge signifie somme des appuis sur 2 et 4 impair. 9 rouge signifie somme des appuis sur 6 et 8 impair. La somme des appuis sur 2, 4,6, 8 est pair 5 est vert.

    Répondre à ce message

  • Mars, 2ème défi

    le 18 mars 2014 à 14:21, par Daniate

    Rien à ajouter. On peut généraliser le problème à des carrés de coté n. Si n est impair, le problème reste impossible, par contre, si n est pair, il y a toujours une solution possible.

    Répondre à ce message

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