Un défi par semaine

Mars, 3ème défi

Le 21 mars 2014  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (7)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 12 :

Un triangle rectangle a des côtés de longueur entière $a$, $b$ et $c$ tels que $a < b < c$ et $a+c=49$ cm. Quelle est son aire ?

Solution du 2ème défi de mars

Enoncé

Supposons que ce soit possible. Remarquons que les boutons
situés dans les coins changent de couleur quand on appuie sur un
des boutons qui se trouvent sur les côtés correspondants.

PNG - 23.8 ko

Par exemple, si on appuie sur le bouton numéro 2 ou sur le numéro 4, le bouton numéro 1 change de couleur. Comme on veut que le bouton numéro 1 soit rouge à la fin, il faut qu’il change un nombre impair de fois de couleur, donc la somme du nombre de fois où l’on appuie sur le bouton numéro 2 et du nombre de fois où l’on appuie sur le bouton numéro 4 doit être un nombre impair. Si on suppose que l’on appuie sur le bouton numéro 2 un nombre impair de fois, on doit donc appuyer un nombre pair de fois sur le numéro 4. En tenant le même raisonnement pour tous les coins, on doit donc appuyer un nombre pair de fois sur le bouton numéro 6 et un nombre impair de fois sur le numéro 8.

Comme le bouton numéro 5 change de couleur quand on
appuie sur le 2, le 4, le 6 ou le 8, cela va arriver un nombre pair de fois. Ceci implique qu’il sera vert à la fin. Par conséquent, on ne pourra pas faire en sorte que tous les boutons soient rouges.

Post-scriptum :

Pour en savoir plus sur l’image du mois de mars, La courbe de Menger par Étienne Ghys et Jos Leys.

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mars, 3ème défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - La courbe de Menger, par Jos Leys

Commentaire sur l'article

  • Mars, 3ème défi

    le 21 mars 2014 à 09:27, par Daniate

    L’aire cherchée est 210 cm².

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  • Mars, 3ème défi

    le 22 mars 2014 à 00:50, par jokemath

    En effet, il y a même 2 solutions différentes.
    Il y en aurait eu 3 si il n’y avait pas la condition d’ordre entre a et b, mais dans ce cas la 3-ième solution donnerait une aire de 84 cm².

    Répondre à ce message
  • Mars, 3ème défi

    le 26 mars 2014 à 11:53, par ROUX

    Hum... 49, c’est quand même 7 au carré et si on est dans les triangles rectangles, on a le droit à des carrés. Et puis, (c+a), c’est quand même juste la moitié d’une remarquable identité, l’autre moitié étant (c-a).

    Alors, oui, on envoie le a au carré de l’autre côté avec le c au carré, on ré-écrit ce qu’on a avec l’identité remarquée.

    Clairement, b au carré est un multiple de 49 ou, comme on nous écrit que b est un entier, b doit être un multiple de 7 et donc la racine carré de (c-a) doit être un entier compris entre 1 et 6 ou (c-a) est égale aux carrés de ces entiers.

    J’ai fait le tableau de toutes les valeurs multiples de 7 de 7 à 42 pour b puis j’ai ainsi obtenu les valeurs de (c-a) et j’ai calculé c en ajoutant (c+a), qui vaut 49, à (c-a) et en divisant ensuite par 2 (les cas où 2c étaient impairs ont été éliminés) puis j’ai respecté que je devais avoir a plus petit que b.

    Ne sont seulement restés que les triplets (a,b,c) suivants : (20,21,29) et (12,35,37).

    Sans la relation d’ordre entre a et b, on avait droit au triplet : (24,7,25).

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  • Mars, 3ème défi

    le 26 mars 2014 à 20:28, par Daniate

    Plus rapidement, a,b,c forment un triplet Pythagoricien. Il existe donc deux naturels u et v premiers entre eux avec u>v tels que c=u² v² et les 2 autres sont 2uv et u²-v². Mais a et c sont de parités différentes alors que u² v² et u²-v² ont la même parité. On a donc a=2uv et b=u²-v².

    a c=(u v)² donc u v=7. il existe 3 triplets (u,v) possibles (6,1),(5,2),(4,3). Le dernier conduit à a>b, on le rejette.

    L’aire cherchée est 1/2*ab=uv(u²-v²)=uv(u v)(u-v)=7uv(u-v).

    Le premier triplet donne 7*6*5=210 et l’autre 7*5*2*3=210

    Et maintenant, pour prolonger, si on abandonne l’obligation a,b,c entiers l’aire maximum est 2401√2/16 environ 212,22 cm²

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    • Mars, 3ème défi

      le 26 mars 2014 à 22:33, par ROUX

      Qu’est-ce que je rate dans votre défi de recherche de la surface maximale si « a » et « b » ne sont plus nécessairement entiers ?

      J’arrive à b^2=49.(c-a) que je transforme en b^2=49.(49-a-a) puisque c+a=49 signifie que c=49-a.

      J’ai donc b^2=49.(49-2.a).

      Je multiplie par a^2 ce qui me donne (2.S)^2=49.(49-2.a).a^2S est la surface recherchée ou encore (2.S)^2=49^2.a^2-49.2.a^3.

      Je dérive l’expression à droite par la variable « a » et, cherchant un maximum, j’égalise à 0 : 2401.2.a-49.2.3.a^2=0 et je cherche la valeur non-nulle de « a ».

      2401-49.3.a=0 ou a=49/3.

      Alors b^2=49.(49-2.49/3) ou b^2=49^2.(1-2/3) ou b=49.(1/3)^(0,5).

      S=1/2.(49/3).(49.(1/3)^(0,5) soit S=(2401/6).(1/3)^(0,5).

      Ce qui n’est ni votre expression, ni votre valeur puisque je trouve alors 231,0...

      Qu’est-ce que je rate ? Qu’est-ce que j’ai fait et que je n’avais pas le droit de faire pour trouver la valeur maximale de la surface ?

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      • Mars, 3ème défi

        le 26 mars 2014 à 23:23, par Daniate

        Honte à moi, et pan sur le bec, comme dirai le Canard Enchaîné. Votre calcul est parfaitement exact avec une valeur exacte de 49²√3/18. J’ai effectué une dérivation comme un âne dont je porterai le bonnet lors du prochain défi.

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    • Mars, 3ème défi

      le 26 mars 2014 à 23:29, par Daniate

      Je m’aperçois que tous les + de mon texte ont disparus.
      c = u² + v² ; a + c = (u + v)² ; aire = uv(u + v)(u - v)

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