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Un défi par semaine

Mars 2014, 4ème défi

Le 28 mars 2014  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (3)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 13 :

On a $19$ poids différents de $1\,gr, 2\,gr, 3\,gr,..., 19\,gr$. Neuf sont en acier, neuf sont en bronze et un est en or. Si on sait que les poids en acier pèsent au total $90\,gr$ de plus que le poids total de ceux en bronze, combien de grammes pèse le poids en or ?

Solution du 3ème défi de mars

Enoncé

La réponse est $210\, cm^2$.

En appliquant le théorème de Pythagore on a
a^2+b^2 = c^2

a^2+b^2 = (49-a)^2

b^2 = 49(49-2a)

b^2 = 7^2(49-2a).

Ainsi, $49-2a$ doit être un carré. Comme $49-2a$ est impair et $a>0$, $49-2a=1, 9$ ou $25$.

  • Si $49-2a=1$, $a=24\,cm$, donc $c=25\,cm$ et $24< b< 25$, ce qui est impossible.
  • Si $49-2a=9$, $a=20\,cm$, donc $c=29\,cm$ et
    $b=\sqrt{7^2\cdot 9}=21\,cm$. Ainsi, l’aire est $\frac{ab}{2}=\frac{20\times 21}{2}=210\,cm^2$.
  • Si $49-2a=25$, $a=12\,cm$, donc $c=37\,cm$ et $b=\sqrt{7^2\cdot 25}=35\,cm$. Ainsi, l’aire est $\frac{ab}{2}=\frac{12\times 35}{2}=210\,cm^2$.

Par conséquent, l’aire du triangle est de $210\,cm^2$.

Post-scriptum :

Pour en savoir plus sur l’image du mois de mars, La courbe de Menger par Étienne Ghys et Jos Leys.

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mars 2014, 4ème défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - La courbe de Menger, par Jos Leys

Commentaire sur l'article

  • Mars, 4ème défi

    le 28 mars 2014 à 11:09, par Bernard Hanquez

    La réponse est 10 gr. J’ai trouvé un peu par hasard.

    Le poids total est 1+2+3+...+19 = 19x20/2 = 190 gr
    Le poids minimum des poids en bronze est 45 gr (1+2+3+...+9), dans ce cas les poids en acier pèsent 45+90 = 135 gr (ce sont les poids de 11 à 19 gr).
    Les poids en bronze et en acier pèsent donc 180 gr et il reste le poids en 10 gr qui est celui en or.

    J’ignore s’il existe d’autres solutions.

    Répondre à ce message

  • Mars, 4ème défi

    le 28 mars 2014 à 12:25, par Kamakor

    C’est la seule solution oui.

    D’une part, puisque 45=1+2+3+4+5+6+7+8+9, 45gr est le poids minimal possible du bronze. On en déduit que 45+90=135 est alors le poids minimal de l’acier.

    Par ailleurs, on a 135=19+18+17+16+15+14+13+12+11 d’où 135 gr est aussi le poids maximal de l’acier.

    Par conséquent, l’acier pèse exactement 135gr et le bronze 45gr (135-90).

    Il s’ensuit que les poids de 1gr à 9gr sont en bronze et les poids de 11gr à 19gr en acier. Celui en or pèse donc 10gr.

    Répondre à ce message

  • Mars, 4ème défi

    le 2 avril 2014 à 08:57, par Daniate

    Je propose une autre méthode. Parmi tous les poids l’un n’est ni gris mat, ni gris brillant. Il ne reste plus qu’à le peser pour trouver 10 g.

    Répondre à ce message

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