Maryam Mirzakhani nació en Irán en 1977. Allí tuvo una educación de gran calidad, en especial gracias a escuelas especialmente destinadas a alumnos talentosos (¡y talentosas !). En una entrevista muy interesante, ella da pistas sobre su formación intelectual en Irán. Participó en las Olimpiadas Internacionales de Matemáticas en 1994 y 1995. Tras esto comienza inmediatamente sus estudios universitarios en la Universidad Sharif de tecnología de Teherán, donde obtiene su licenciatura en 1999.

Posteriormente, Mirzakhani parte a Harvard, donde defiende su tesis en 2004 bajo la dirección de Curt McMullen (medallista Fields en 1998). Los honores y premios se suceden uno a uno hasta que es nombrada profesora en Stanford en 2008 y medallista Fields en 2014.

He aquí la traducción de la cita oficial para esta medalla.

’’Maryam Mirzakhani recibe la medalla Fields por sus contribuciones excepcionales a la dinámica y la geometría de las superficies de Riemann y sus espacios de módulos’’. [1]

Las superficies de Riemann

Recordemos que las coordenadas cartesianas permiten asociar un punto del plano a dos números, y recíprocamente. En un primer tiempo, los números que se usaban eran, naturalmente, los reales. Si se parte con una ecuación polinomial de la forma $P(x,y)=0$, se le puede asociar una ’’curva algebraica’’ : se trata del conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen la ecuación. Por ejemplo, $y-2x=1$ representa una recta y $x^2+y^2=1$ una circunferencia. Sin embargo, los números reales pueden ser esquivos : la curva $x^2+y^2+1=0$ no contiene ningún punto... real. Pese a esto, si pasamos a los números complejos, la curva precedente contiene muchos puntos, como por ejemplo $(i,0)$. Aún más, utilizando números complejos, podemos establecer una conexión entre la teoría de curvas y la de superficies.

Por definición, una curva es un objeto de dimensión 1, como una circunferencia. Un punto sobre la curva queda descrito por un solo número que permite localizarlo, un ángulo sobre la circunferencia. Pero si dicho número es un complejo $a+ib$, con sus partes real e imaginaria, ahora nos ubicamos en la curva con dos números reales, ¡y la curva se transformó en una superficie ! Este fue un golpe de genialidad de Riemann : estudiar las curvas complejas observando que se trata de superficies reales. Una superficie de Riemann es por tanto una curva algebraica, pensada como una superficie de dos dimensiones reales.

Aunque no tiene nada de evidente, Riemann nos enseñó que una curva de la forma
\[ y^2 = x^3 + px + q \]
debe ser pensada como una superficie tórica, como esta :

Una curva de grado mayor será en general representada por una superficie cuya forma es más complicada.

Las cosas se vuelven aún más interesantes cuando se hace variar los coeficientes del polinomio que definen la curva, como $p$ y $q$ en el ejemplo precedente. La curva/superficie sigue siendo tórica, se deforma continuamente, pero su geometría varía. Hay muchas formas posibles sobre un toro...

Una curva algebraica, una superficie de Riemann, nos entrega no solo una forma sino también una geometría.

El espacio de moduli de las superficies de Riemann

Una de las grandes contribuciones de Riemann fue la de estudiar las superficies que hoy llevan su nombre no como objetos individuales, sino como parte de familias de superficies que se obtienen unas de otras por deformación. Esto divide a las superficies según su ’’género’’ : el género 0 corresponde a las deformaciones de las esferas, el género 1 a los toros, etc. En general, cuando el género es $g$, la superficie puede ser obtenida a partir de una esfera añadiéndole $g$ ’’asas’’, como en esta figura :

El conjunto de todas las superficies de Riemann de género $g$ se llama ’’espacio de módulos de curvas de género $g$’’. Cada punto de este nuevo espacio representa a una superficie de Riemann, y un camino en este espacio es una familia de superficies que se deforman continuamente unas en otras. Para ser completamente precisos se requeriría de páginas y páginas complicadas ; en particular, se necesitaría explicar claramente cuándo es que se considera que dos superficies de Riemann son ’’las mismas’’. Recomiendo para esto el primer capítulo de este libro, de nivel de máster (disponible en francés..)..

Desde la época de Riemann hasta la de Mirzakhani, una cantidad impresionante de trabajos se centran en estos espacios de módulos. Se sabe, por ejemplo, que se trata de un espacio de dimensión (compleja) $3g-3$ que, en sí mismo, posee una geometría muy interesante.

Dos teoremas de Mirzakhani

Comencemos con una curva de género $g$. A esta le corresponde una superficie real $S$. El ’’teorema de uniformización’’ (que data de 1907) permite definir sobre $S$ una geometría homogénea, más ’’bonita’’ que cualquier otra (una geometría a curvatura constante). En particular, se puede medir la longitud de una curva trazada sobre $S$.

Escojamos una curva cerrada sobre $S$, como por ejemplo la curva naranja de esta figura :

Deformemos la curva de manera a minimizar la longitud, como si la curva inicial fuese un elástico sobre la superficie que busca contraerse hasta hallar una posición de equilibrio. Esta posición se llama geodésica cerrada, y corresponde a la curva oscurecida de la figura.

Fijemos ahora una número $L$ y tratemos de contar el número $N(L)$ de geodésicas cerradas sobre $S$ cuya longitud es inferior a $L$. Desde hace tiempo se sabe que $N(L)$ crece muy rápido (exponencialmente rápido). Numerosos trabajos estudian esta función. Atención :$N(L)$ cuenta todas las geodésicas, incluyendo aquellas que se cortan a sí mismas, como la curva naranja de esta figura :

La tesis de Maryam Mirzakhani se centra en contar el número $N_s(L)$ de geodésicas de largo inferior a $L$ que son simples, es decir, que no se cortan entre ellas. Mirzakhani prueba que $N_s(L)$ tiene un crecimiento muchísimo más lento, equivalente de hecho a un polinomio, el cual describe de manera precisa.

Si bien este resultado puede parecer técnico, posee implicaciones importantes tanto para la dinámica de los billares como para la comprensión de la forma del espacio de módulos (en particular, da una prueba más conceptual de una conjetura de Witten).

El segundo resultado al que quisiera hacer alusión aquí es bastante reciente y fue obtenido en colaboración con A. Eskin. Esta vez se trata de dinámica, no sobre una superficie, sino sobre el mismo espacio de módulos. Si se considera un punto sobre una superficie y un vector tangente sobre ella, se puede imaginar que se lanza una bola desde este punto y con tal dirección. El movimiento de esta bola es llamado ’’flujo geodésico’’, y se trata de un ejemplo muy importante de sistema caótico. Vea por ejemplo este artículo, o el Capítulo 5 de Chaos.

Se quiere hacer la misma cosa pero ahora sobre el espacio de módulos. Se toma un punto de este espacio, es decir, una superficie de Riemann. Se elige luego un vector tangente, y se lanza una bola (¡imaginaria !) sobre este espacio (abstracto). La bola entonces se pasea por el espacio de módulos. Pues bien, siguiendo los pasos de Riemann, Eskin y Mirzakhani consideran la variable ’’tiempo’’ como un número complejo. La trayectoria de la bola es, entonces, un número complejo, es decir, una superficie. Su descubrimiento es que esta superficie tiene un comportamiento dinámico bastante más simple que el que se podía esperar a priori.

Dos artículos de Mirzakhani

Maryam Mirzakhani, Growth of the number of simple closed geodesics on hyperbolic surfaces. Ann. of Math. (2) 168 (2008), no. 1, 97–125.

Alex Eskin, Maryam Mirzakhani, Invariant and stationary measures for the SL(2,R) action on Moduli space.