Un desafío por semana

Marzo 2015, primer desafío

El 6 marzo 2015  - Escrito por  Ana Rechtman
El 6 marzo 2015
Artículo original : Mars 2015, 1er défi Ver los comentarios
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2015 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 10:

Los puntos de la cuadrícula están numerados siguiendo el camino marcado. ¿Cuál es el número que se encuentra a la izquierda de $2015$ ?

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Solución del cuarto desafío de febrero:

Enunciado

La respuesta es $\widehat{FAG}=24^{\circ}$.

Sean $S$ el centro del hexágono y $T$ el del pentágono.

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Los dos polígonos son regulares. Como tienen el lado $[FE]$ en común, $AF = FE = EG.$ Entonces $AFG$ es isósceles en $F$. Para determinar la medida del ángulo $\widehat{FAG}$ basta conocer la medida de $\widehat{AFG}$.

Observemos que el hexágono está formado por $6$ triángulos equiláteros congruentes a $ASF$. Entonces

$\widehat{AFE} = \widehat{AFS} + \widehat{SFE} =60^{\circ} + 60^{\circ}=120^{\circ}.$

El pentágono está formado por $5$ triángulos isósceles en $T$ y congruentes a $FTG$, en consecuencia

$\widehat{GTF}= \frac{360^{\circ}}{5}=72^{\circ}.$

Luego,

$\widehat{TFG} = \frac{180^{\circ}-72^{\circ}}{2} =54^{\circ}.$

Por lo tanto, $ \widehat{EFG} = \widehat{EFT} + \widehat{TFG} = 2 \times 54^{\circ}= 108^{\circ},$

por lo que $\widehat{AFG} = 360^{\circ} -\widehat{AFE}- \widehat{EFG} =132^{\circ}.$

Como el triángulo $AFG$ es isósceles en $F$,

$\widehat{FAG} = \frac{ 180^{\circ}-\widehat{AFG} }{2}=24^{\circ}.$

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2015 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos: Ian Stewart. 2014, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Artículo original editado por Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

— «Marzo 2015, primer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - Tischenko Irina / SHUTTERSTOCK

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