Un desafío por semana

Marzo 2015, segundo desafío

El 13 marzo 2015  - Escrito por  Ana Rechtman
El 13 marzo 2015
Artículo original : Mars 2015, 2e défi Ver los comentarios
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2015 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 11:

Juan tiene un gran número de cubos blancos idénticos. Él traza una diagonal a cada una de las caras de los cubos. ¿Cuál es el máximo número de cubos distintos que podría obtener? (dos cubos son idénticos si, con las decoraciones dadas por las diagonales incluidas, uno puede ser enviado en el otro por una rotación).

Solución del primer desafío de marzo:

Enunciado

La respuesta es $1860$.

Observemos que los cuadrados de los números impares se ubican en el borde inferior de la cuadrícula, mientras que los cuadrados de los pares se ubican en el lado derecho de esta. Esto es una consecuencia del hecho que cada vez que el camino ennegrecido llega al borde inferior de la cuadrícula, este ha recorrido todos los vértices de un cuadrado con un número impar de vértices en cada lado.

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Los cuadrados que encierran a $2015$ son los números $1936=44^2$ y $2025 = 45^2$. Todos los cuadrados de números impares se encuentran al extremo de un segmento descendiente. Como 2015 esta más cerca de $45^2$ que de $44^2$, 2015 se encuentra en el segmento descendiente que termina en 2025.

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El cuadrado impar antecesor a $45^2$ es $43^2=1849$; el siguiente número a su derecha es 1850. Así, el punto buscado se encuentra en la linea vertical que pasa por $1850$ y está a la misma distancia de $1850$ que $2015$ de $2025$. Finalmente, el número buscado es $1850+(2025-2015) = 1850+10=1860$.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2015 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos: Ian Stewart. 2014, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Artículo original editado por Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

— «Marzo 2015, segundo desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - Tischenko Irina / SHUTTERSTOCK

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