Un desafío por semana

Marzo 2015, tercer desafío

Le 20 mars 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 20 mars 2015
Article original : Mars 2015, 3e défi Voir les commentaires
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2015 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 12 :

Se escriben nueve números en orden creciente. El número del medio es el promedio de los nueve números. El promedio de los cinco más grandes es $80$ y el de los cinco más pequeños es $50$. ¿Cuál es el valor de la suma de todos los números ?

Solución del segundo desafío de marzo :

Enunciado

La respuesta es $8$ cubos.

Un cubo tiene 6 caras, por lo que tenemos que trazar 6 diagonales. Definiremos la valencia de un vértice como el número de diagonales trazadas que tienen a este vértice como uno de sus extremos : La suma de las valencias de los 8 vértices del cubo debe ser entonces igual a $2\times 6=12$. Por lo tanto, en cada manera de trazar las diagonales, hay al menos un vértice de valencia estrictamente mayor a 1.

Supongamos que se trazan solamente dos diagonales con un vértice en común. Al rotar alrededor de los ejes que pasan por los centros de dos caras opuestas, podemos siempre llevar al cubo a alguna de las tres situaciones siguientes :

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Cada cubo está representado a la derecha de manera aplastada con el fin de ver mejor sus distintas caras : solo una cara (la trasera) no es visible. Al rotar en torno al eje $(AG)$ podemos ver que las tres configuraciones dibujadas son equivalentes.

De aquí en adelante consideraremos un cubo con dos diagonales trazadas como en el primer caso de la figura anterior. Nos falta todavía trazar cuatro diagonales. En lo que sigue, diremos que dos diagonales serán paralelas si están trazadas en caras opuestas y si coinciden al hacer la proyección ortogonal de una cara sobre la otra. El cubo puede tener entonces :

  1. tres pares de diagonales paralelas ;
  2. dos pares de diagonales paralelas ;
  3. solo un par de diagonales paralelas ;
  4. ningún par de diagonales paralelas.

Contemos primero el número de manera de trazar las diagonales en el caso $(1)$, siempre partiendo de un cubo que tiene dos diagonales trazadas como precisamos anteriormente. Tenemos entonces dos posibilidades :

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La diagonal trazada en la cara oculta está representada por dos segmentos que salen del cubo. Observemos que en la figura de la izquierda hay seis vértices de valencia 2 y que en la de la derecha hay dos vértices de valencia 3 y seis de valencia 1 : estos dos cubos entonces son diferentes.

En el caso $(2)$ tenemos a priori seis maneras de trazar las diagonales (las caras coloreadas son las que tienen las diagonales paralelas) :

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En cada uno de estos casos hay un vértice de valencia 3, tres de valencia 2, tres de valencia 1 y uno de valencia 0. Aplicando rotaciones, podemos siempre ubicar el vértice de valencia 0 en la misma posición que en la figura $a$, y así, ver que todas estas formas de trazar las diagonales son equivalentes. Explicitaremos la serie de rotaciones que nos permite concluir que las configuraciones $c$ y $b$ son idénticas. Para esto, le pondremos un número a dos caras del cubo. Al hacer una rotación de $180^\circ$ usando como eje el centro de la cara $2$, y luego una rotación horaria de $90^\circ$ sobre la cara $1$, obtenemos $c$ a partir de $b$ :

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Entonces $b=c$. Observemos que al hacer un tercio de rotación alrededor del eje que pasa por el vértice de valencia 0 de $c$ establece la equivalencia entre $a$ y $c$, entonces $a=b=c$. De manera análoga $a=d=e=f$. Hay entonces una sola forma de trazar las diagonales en el caso $(2)$.

Estudiemos ahora el caso $(3)$, en donde el cubo solo tiene un par de diagonales paralelas. En un principio tenemos nuevamente seis casos :

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Los cubos $B$ y $D$ tienen cuatro vértices de valencia 2 y dos de valencia 1 ; y los cubos $A$, $C$, $E$ y $F$ tienen dos vértices de valencia 3, dos de valencia 2 y dos de valencia 1.

Haciendo rotaciones del cubo obtenemos $A=C=E=F$. Por otro lado, vamos a mostrar que $B\neq D$. A partir de $D$, podemos hacer una rotación en torno al eje que pasa por el centro de la cara denotada como $1$ para obtener :

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Entonces $D$ es una reflexión de $B$ y estas dos maneras de trazar las diagonales no son equivalentes. Por lo tanto, en el caso $(3)$, tenemos tres maneras de trazar las diagonales.

Finalmente, en el caso $(4)$ tenemos dos posibilidades :

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Estas dos maneras son diferentes porque la primera tiene cuatro vértices de valencia 3 y la segunda tiene cuatro vértices de valencia 2 y cuatro de valencia 1.

Por lo tanto, tenemos $2+1+3+2=8$ maneras de trazar las diagonales del cubo.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2015 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos : Ian Stewart. 2014, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Article original édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

— «Marzo 2015, tercer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - Tischenko Irina / SHUTTERSTOCK

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