Un desafío por semana

Marzo 2017, cuarto desafío

Le 24 mars 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 24 mars 2017
Article original : Mars 2017, 4e défi Voir les commentaires
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2017 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 12 :

En el desarrollo del octaedro, ubicar en cada triángulo los números del $1$ al $8$, de manera que la suma de los números de $4$ triángulos que comparten un vértice sea siempre la misma.

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Solución del tercer desafío de marzo :

Enunciado

La respuesta es $2627$.

Como $x$ y $x+99$ son cuadrados de enteros positivos, tenemos :

$x = n^2$

$x + 99 = m^2.$

Restando ambas ecuaciones, obtenemos $-99=n^2-m^2=(n-m)(n+m)$, lo cual es equivalente a $99 = (m-n)(n+m)$. Como $m>n>0$, tenemos $m+n>m-n>0$. Por otra parte, la descomposición en factores primos de $99$ es $3^2\times 11$. Luego, tenemos tres casos :

  • $n+m=99$ y $m-n=1$. Al sumar estas dos ecuaciones, obtenemos $2m=100$, es decir, $m=50$. Por lo tanto, $n=49$ y $x=49^2= 2401$.
  • $n+m=33$ y $m-n=3$. De la misma manera, obtenemos $m=18$. Por lo tanto, $n=15$ y $x=15^2= 225$.
  • $n+m=11$ et $m-n=9$. Igualmente, obtenemos $m=10$. Por lo tanto, $n=1$ y $x=1^2= 1$.

Finalmente, la suma de todos los $x$ correspondientes es $2401+225+1=2627$.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2017 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos : Ian Stewart.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

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Pour citer cet article :

— «Marzo 2017, cuarto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - JOSEF P. WILLEMS/FANCY / PHOTONONSTOP

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