Un desafío por semana

Marzo 2017, primer desafío

Le 3 mars 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 3 mars 2017
Article original : Mars 2017, 1er défi Voir les commentaires
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2017 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 9 :

Cada caja contiene $2$ bolas, y en total hay $4$ bolas negras y $4$ blancas. Los números de bolas negras escritos en las cajas son falsos. Si la última caja tiene más bolas blancas que la primera, ¿cuántas bolas negras hay en cada caja ?

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Solución del cuarto desafío de febrero :

Enunciado

La respuesta es $180$ y $405$.

Sea $N$ un entero que verifica esta propiedad. Supongamos que $2$ es el menor divisor no trivial de $N$, entonces $2\times45=90$ es su mayor divisor no trivial. Como $N$ es el producto de sus divisores no triviales menor y mayor, $N=2\times90=180$.

Supongamos ahora que $3$ es el menor divisor de $N$. Entonces $3\times45=135$ es su mayor divisor, y $N=3\times135=405$.

Si $m>3$ es el menor divisor no trivial de $N$, entonces $45m$ es su mayor divisor no trivial, y $N=45m^2$. Como $45=3\times15$, el número $N$ es múltiplo de de $3$, el cual es ahora un divisor no trivial de $N$. Esto contradice nuestra suposición de que su menor divisor no trivial es estrictamente mayor que $3$.

Finalmente, solo cumplen la propiedad los números $180$ y $405$.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2017 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos : Ian Stewart.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

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Pour citer cet article :

— «Marzo 2017, primer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - JOSEF P. WILLEMS/FANCY / PHOTONONSTOP

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