Un desafío por semana

Marzo 2017, tercer desafío

Le 17 mars 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 17 mars 2017
Article original : Mars 2017, 3e défi Voir les commentaires
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2017 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 11 :

Determinar la suma de todos los números enteros positivos $x$ que verifican la siguiente propiedad : $x$ y $x+99$ son cuadrados de números enteros positivos.

Solución del segundo desafío de marzo :

Enunciado

La respuesta es 1.

Sean $x_1$, $x_2$, $\ldots,$ $x_{10}$ los números que pensaron las personas que dijeron $1$, $2$, $\ldots,$ $10$, en este orden, es decir, $x_1$ es el número que pensó la persona que dijo $1$, $x_2$ el número que pensó la persona que dijo $2$, y así sucesivamente.

Podemos escribir las ecuaciones :

\[ x_1+x_3=4,\]

\[x_2+x_4=6,\]

\[x_3+x_5=8,\]

\[x_4+x_6= 10,\]

\[x_5+x_7=12,\]

\[x_6+x_8=14,\]

\[x_7+x_9=16,\]

\[x_8+x_{10}=18,\]

\[x_9+x_1=20,\]

\[x_{10}+x_2=2.\]

Si sumamos las ecuaciones con índices pares, obtenemos :

\[2(x_2 +x_4 + x_6 +x_8+x_{10} ) = 50\]

\[ 6 +x_6 +18 = 25\]

\[x_6+24 = 25.\]

Luego, $x_6=1$. De manera análoga, podemos obtener todos los otros números. Por lo tanto, la persona que dijo $6$ pensó en el número $1$.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2017 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos : Ian Stewart.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Article original édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

— «Marzo 2017, tercer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - JOSEF P. WILLEMS/FANCY / PHOTONONSTOP

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