Un desafío por semana

Marzo 2018, cuarto desafío

El 23 marzo 2018  - Escrito por  Ana Rechtman
El 23 marzo 2018
Artículo original : Mars 2018, 4e défi Ver los comentarios
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Les proponemos un desafío del calendario matemático cada viernes, y su solución a la semana siguiente. No habrá edición del calendario 2018 en papel, ¡tendremos que esperar para la edición 2019!

Semana 12:

¿Cuánto vale
$(1\times 1!)+(2\times 2!)+\cdots+(n\times n!)$ ?

($n!=n\times(n-1)\times\cdots\times2\times 1$.)

Solución del tercer desafío de marzo:

Enunciado

La respuesta es $a+b=5+6=11$.

Como $342$ es divisible por $9$, el número $100\,900\,b\,02$ debe ser divisible por $9$.

Por lo tanto, la suma de sus dígitos $1+9+b+2=12+b$ debe ser divisible por $9$.

Como $b$ es un dígito, la única posibilidad es $b=6$.

Sin embargo, $100\,900\,602$ es divisible por $11$ (ya que $(1+0+0+6+2)-(0+9+0+0)=0$), pero $342$ no lo es. Luego $29a\,031$ debe ser divisible por $11$.

En otras palabras, $(2+a+3)-(9+0+1)=a-5$ debe ser divisible por $11$. Como $a$ es un dígito, la única posibilidad es $a=5$. Por lo tanto, $a+b=5+6=11$.

Artículo original editado por Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

— «Marzo 2018, cuarto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

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