Enunciado

La respuesta es $p=(n+1)!-1$.

En efecto, sea $p$ el valor de la suma.

Tenemos entonces
\[\begin{eqnarray*} p + 1 & = & 1 + (1\times 1!)+(2\times 2!)+(3\times 3!)+\cdots+(n\times n!)\\ & = & 2!+(2\times 2!)+(3\times 3!)+(4\times 4!)+\cdots+(n\times n!)\\ & = & (3\times 2!)+(3\times 3!)+(4\times 4!)+\cdots+(n\times n!)\\ & = & 3!+(3\times 3!)+(4\times 4!)+\cdots+(n\times n!)\\ & = & (4\times 3!)+(4\times 4!)+\cdots+(n\times n!)\\ & = & (5\times 4!)+\cdots+(n\times n!). \end{eqnarray*}\]

Continuando de esta manera, obtenemos $p+1=(n+1)!$. Por lo tanto, $p=(n+1)!-1$.