Un desafío por semana

Marzo 2018, tercer desafío

Le 16 mars 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 16 mars 2018
Article original : Mars 2018, 3e défi Voir les commentaires
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Les proponemos un desafío del calendario matemático cada viernes, y su solución a la semana siguiente. No habrá edición del calendario 2018 en papel, ¡tendremos que esperar para la edición 2019 !

Semana 11 :

Si $29a\,031\times 342=100\,900\,b02$, donde $a$ y $b$ son dígitos, ¿cuál es el valor de $a+b$ ?

Solución del segundo desafío de marzo :

Enunciado

La respuesta es : $25$ miembros practican atletismo, $27$ miembros practican natación y $33$ miembros practican ciclismo.

Sean $x$, $y$ y $z$ el número de miembros que practican solamente atletismo, natación, y ciclismo, respectivamente. Llamemos $u$ al número de miembros que practican atletismo y natación, $v$ al número de los que practican natación y ciclismo, y $w$ al número de los que practican atletismo y ciclismo. Tenemos entonces las siguientes ecuaciones

\[\begin{eqnarray*} x+y+z+u+v+w & = & 78\\ 49x+40(u+w) & = & 1198\\ 49y+40(u+v) & = & 1269\\ 49z+40(v+w) & = & 1572. \end{eqnarray*}\]

Las tres últimas ecuaciones nos entregan expresiones para $x, y$ y $z$ que podemos usar en la primera ecuación para obtener

\[\begin{eqnarray*} \frac{1}{49}(1198+1269+1572-80(u+v+w))+u+v+w & = & 78\\ 4039-80(u+v+w)+49(u+v+w) & = & 3822\\ 31(u+v+w) & = & 217\\ u+v+w & = & 7. \end{eqnarray*}\]

Entonces $u+w=7-v$ con $0\leq v\leq 7$, lo que implica que
\[ 49x+40(7-v)=1198. \]
Dicho de otra manera, $49x=918+40v$. Al reemplazar los valores posibles de $v$, obtenemos la única solución $v=4$, y, por lo tanto, $x=22$. De manera análoga, tenemos
\[ 49y+40(7-w)=1269, \]
con $0\leq w\leq 3$, ya que $u+w=7-v=3$.

La única solución en entonces $w=1$ y $y=21$. Finalmente, obtenemos que $u=7-4-1=2$ y $z=78-22-21-7=28$. Por lo tanto, hay $x+u+w=25$ miembros que practican atletismo, $y+u+v=27$ miembros que practican natación y $z+v+w=33$ miembros que practican ciclismo.

Article original édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

— «Marzo 2018, tercer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

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