Un desafío por semana

Marzo 2019, quinto desafío

El 29 marzo 2019  - Escrito por  Ana Rechtman
El 29 marzo 2019
Artículo original : Mars 2019, 5e défi Ver los comentarios
Leer el artículo en  

Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente. ¡El calendario 2019 está en librerías (en Francia)!

Semana 13

En un pueblo hay $70\,\%$ de ’’peores’’ y $30\,\%$ de ’’puros’’. Los ’’peores’’ dicen la verdad $5$ veces sobre $100$, mientras que los ’’puros’’ lo hacen $90$ veces sobre $100$.

Si se le pregunta a un habitante si es ’’peor’’ y este responde que sí, ¿cuál es la probabilidad de que efectivamente lo sea?

Solución del cuarto desafío de marzo:

Enunciado

Las únicas soluciones para $(x,y)$ son $(2,5)$ y $(3,7)$

Si $x \geq 5$, entonces la última cifra de $x!$ es $0$, por lo que la última cifra de $x! + 3$ es $3$ y la de $6 \times \left(x! + 3\right)$ es $8$.

Sin embargo, el último dígito de un cuadrado perfecto $y^2$ es $0$, $1$, $4$, $5$, $6$ o $9$, por lo que la última cifra de $y^2 + 5$ es $0$, $1$, $4$, $5$, $6$ o $9$, y nunca $8$. Esto prueba que el caso $x \geq 5$ es imposible. Solo queda examinar los casos restantes.

  • Si $x = 1$, entonces $6 \times (x! + 3)$ vale $24$. Como $19$ no es un cuadrado perfecto, esto no genera una solución.
  • Si $x = 2$, entonces $6 \times (x! + 3)$ vale $30$. Como $25 = 5^2$, esto genera la solución $(x,y) = (2,5)$.
  • Si $x = 3$, entonces $6 \times (x! + 3)$ vale $54$. Como $49 = 7^2$, esto genera la solución $(x,y) = (3,7)$.
  • Si $x = 4$, entonces $6 \times (x! + 3)$ vale $162$. Como $157$ no es un cuadrado perfecto, esto no genera una solución.

Las únicas soluciones son entonces $(x,y) = (2,5)$ y $(3,7)$.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2019 - Bajo la dirección de Ana Rechtman, con la contribución de Nicolas Hussenot - Textos: Claire Coiffard-Marre y Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Todos los derechos reservados.

Disponible en www.pug.fr

Comparte este artículo

Para citar este artículo:

— «Marzo 2019, quinto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Comentario sobre el artículo

Dejar un comentario

Foro sólo para inscritos

Para participar en este foro, debe registrarte previamente. Gracias por indicar a continuación el identificador personal que se le ha suministrado. Si no está inscrito/a, debe inscribirse.

Conexióninscribirse¿contraseña olvidada?

La traducción del sitio del francés al castellano se realiza gracias al apoyo de diversas instituciones de matemáticas de América Latina.