Un desafío por semana

Marzo 2019, quinto desafío

Le 29 mars 2019  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 29 mars 2019
Article original : Mars 2019, 5e défi Voir les commentaires
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente. ¡El calendario 2019 está en librerías (en Francia) !

Semana 13

En un pueblo hay $70\,\%$ de ’’peores’’ y $30\,\%$ de ’’puros’’. Los ’’peores’’ dicen la verdad $5$ veces sobre $100$, mientras que los ’’puros’’ lo hacen $90$ veces sobre $100$.

Si se le pregunta a un habitante si es ’’peor’’ y este responde que sí, ¿cuál es la propiedad de que efectivamente lo sea ?

Solución del cuarto desafío de marzo :

Enunciado

Las únicas soluciones para $(x,y)$ son $(2,5)$ y $(3,7)$

Si $x \geq 5$, entonces la última cifra de $x!$ es $0$, por lo que la última cifra de $x! + 3$ es $3$ y la de $6 \times \left(x! + 3\right)$ es $8$.

Sin embargo, el último dígito de un cuadrado perfecto $y^2$ es $0$, $1$, $4$, $5$, $6$ o $9$, por lo que la última cifra de $y^2 + 5$ es $0$, $1$, $4$, $5$, $6$ o $9$, y nunca $8$. Esto prueba que el caso $x \geq 5$ es imposible. Solo queda examinar los casos restantes.

  • Si $x = 1$, entonces $6 \times (x! + 3)$ vale $24$. Como $19$ no es un cuadrado perfecto, esto no genera una solución.
  • Si $x = 2$, entonces $6 \times (x! + 3)$ vale $30$. Como $25 = 5^2$, esto genera la solución $(x,y) = (2,5)$.
  • Si $x = 3$, entonces $6 \times (x! + 3)$ vale $54$. Como $49 = 7^2$, esto genera la solución $(x,y) = (3,7)$.
  • Si $x = 4$, entonces $6 \times (x! + 3)$ vale $162$. Como $157$ no es un cuadrado perfecto, esto no genera una solución.

Las únicas soluciones son entonces $(x,y) = (2,5)$ y $(3,7)$.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2019 - Bajo la dirección de Ana Rechtman, con la contribución de Nicolas Hussenot - Textos : Claire Coiffard-Marre y Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Todos los derechos reservados.

Disponible en www.pug.fr

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Pour citer cet article :

— «Marzo 2019, quinto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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