Un desafío por semana

Marzo 2019, tercer desafío

El 15 marzo 2019  - Escrito por  Ana Rechtman
El 15 marzo 2019
Artículo original : Mars 2019, 3e défi Ver los comentarios
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente. ¡El calendario 2019 está en librerías (en Francia)!

Semana 11

Un balón de fútbol está formado de 32 cascos de cuero, algunos hexagonales y otros pentagonales, todos regulares. ¿Cuántas costuras debió hacerse y cuántos vértices de obtuvo?

Solución del segundo desafío de marzo:

Enunciado

La solución es $r=1$.

Escribamos el número $r$ como fracción irreducible $r = \frac ab$: los números $a$ y $b$ son naturales y primos entre ellos.

Se tiene entonces $ r + \frac 1r = \frac{a^2+b^2}{ab}$.

Si este número es un entero, entonces el denominador $ab$ debe dividir al numerador $a^2 + b^2$.

Por lo tanto, $a$ divide $a^2 + b^2$, por lo que debe dividir a $b^2$.

Como $a$ y $b$ son primos entre ellos, esto implica que $a = 1$.

De manera análoga se prueba que $b = 1$. Esto implica $r = 1$.

Puesto que, recíprocamente, $1$ es claramente una solución, se tiene que $r = 1$ es el único número racional positivo que responde a la pregunta.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2019 - Bajo la dirección de Ana Rechtman, con la contribución de Nicolas Hussenot - Textos: Claire Coiffard-Marre y Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Todos los derechos reservados.

Disponible en www.pug.fr

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Para citar este artículo:

— «Marzo 2019, tercer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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