Un desafío por semana

Marzo 2021, segundo desafío

Le 12 mars 2021  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 12 mars 2021
Article original : Mars 2021, 2e défi Voir les commentaires
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente.

Semana 11

Contamos con un dado de cuatro caras solamente, numeradas $1, 3, 5, 7$, y con otro de ocho numeradas $2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16$ ; en ambos dados cada cara tiene la misma probabilidad de caer boca arriba en una tirada. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar ambos dados a la vez la suma de las dos caras que caigan sea $11$ ?

Solución del primer desafío de marzo :

Enunciado

Sea $r$ una solución entera de $P(x) = x^{10} + kx^2 + 4$, de las cuales sabemos que al menos existe una. Tenemos entonces que
\[ P(r) = r^{10} + kr^2 + 4 = 0. \]

Puesto que $r^2$ es divisor de $r^{10}$ y $kr^2$, también es divisor de $4$, así que los valores de $r^2$ son $r^2 = 1, 2$ o $4$, pero como $r^2$ es el cuadrado de un entero, $r^2$ no puede valer $2$. De este modo, $r = \pm 1$ o $r = \pm 2$.

  • Si $r= \pm 1$, substituyendo $r$ en la ecuación obtenemos que $1 + k + 4 = 0$, de donde $k = -5$.
  • Si $r= \pm 2$, tenemos que $2^{10} + 4k + 4 = 0$, de donde $k = -(2^{10} + 4) / 4 = -(2^8 + 1) = -257$.

Por lo tanto, las únicas posibilidades que tiene $k$ son $-5$ et $-257$.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2021 — Bajo la dirección de Ana Rechtman.

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Pour citer cet article :

— «Marzo 2021, segundo desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

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