Enunciado

Sea $r$ una solución entera de $P(x) = x^{10} + kx^2 + 4$, de las cuales sabemos que al menos existe una. Tenemos entonces que
\[ P(r) = r^{10} + kr^2 + 4 = 0. \]

Puesto que $r^2$ es divisor de $r^{10}$ y $kr^2$, también es divisor de $4$, así que los valores de $r^2$ son $r^2 = 1, 2$ o $4$, pero como $r^2$ es el cuadrado de un entero, $r^2$ no puede valer $2$. De este modo, $r = \pm 1$ o $r = \pm 2$.

• Si $r= \pm 1$, substituyendo $r$ en la ecuación obtenemos que $1 + k + 4 = 0$, de donde $k = -5$.

• Si $r= \pm 2$, tenemos que $2^{10} + 4k + 4 = 0$, de donde $k = -(2^{10} + 4) / 4 = -(2^8 + 1) = -257$.

Por lo tanto, las únicas posibilidades que tiene $k$ son $-5$ et $-257$.