El diseño de los balones de fútbol -y, en general, de cualquier deporte- suele ser matemáticamente muy interesante. En estos tres artículos de Paisajes Matemáticos descubrirás mucho en torno al tema : este tiene relación con los diseños en general, este con la Brazuca (la pelota oficial del Mundial de 2014), y este con el balón -y el logo- de la Liga de Campeones de Europa, de la cual volvemos a referirnos aquí.

Quizás hayas notado que hubo un ligero cambio de diseño del balón de la competición. Si no, observa con atención : el de la izquierda era el balón de la versión 2018-2019, y el de la derecha es el balón 2019-2020 (con el cual se está jugando versión actual de la copa). ¿Ves la diferencia ? Las 12 estrellas dejaron de tocarse unas con otras en sus puntas, y ahora encajan a lo largo de sus lados.

¿Cómo se logro esta hazaña para el diseño ? Una manera de entender el proceso es la siguiente : primero, las estrellas fueron giradas todas en el mismo ángulo y ’’en la misma dirección’’ y, posteriormente, fueron ligeramente modificadas de modo que los lados de cada una empalmen perfectamente con los de las vecinas. ¡Muy original ! Pero ¿qué significa eso de que las estrellas fueron giradas en la misma dirección ? A fin de cuentas, las estrellas se encuentran sobre una esfera, y no es evidente cómo proceder.

Sucede que la noción de ’’dirección de giro’’ sobre una esfera está perfectamente bien definida. De hecho, nosotros la usamos permanentemente : nuestro planeta es esférico, y aún así no tenemos problema alguno para entender lo que significa ’’girar a la izquierda’’ o a la ’’derecha’’, sin importar dónde estemos [1]. En general, las superficies sobre las cuales se puede dar sentido a esta noción son llamadas ’’orientables’’. La esfera es una de ellas, pero también lo son el toro (una superficie con forma de dona), el bitoro (una dona con un asa añadida), el tritoro, etc, ilustrados abajo.

¿Y cuál sería una superficie no orientable ? La más famosa es, sin duda alguna, la banda de Möbius, maravillosamente descrita en este artículo. Esta se obtiene al tomar una huincha y unir un extremo con el otro dando media vuelta. Si no se hace esta media vuelta, la huincha cierra como la superficie de un cilindro ; si ponemos estrellas allí y las giramos todas en la misma dirección, no hay ningún problema de incompatibilidad, como se aprecia abajo.

En cambio, sobre la banda de Möbius, es imposible girar estrellas en una dirección coherente. Solo observa : al cerrar la banda, las estrellas vienes giradas ’’en la dirección contraria’’.

¡Qué suerte que el fútbol se juegue con una pelota y no con una banda de Möbius ! [2].