Matemáticas post-modernas

Le 4 octobre 2013  - Ecrit par  Pierre Colmez
Le 20 janvier 2021  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Mathématiques post-modernes Voir les commentaires
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Este mensaje constituye una respuesta parcial a los argumentos en favor de la enseñanza de la estadística, enunciados en el mensaje de Pierre Arnoux y Jean-Pierre Raoult. Comencemos por la sempiterna cantinela acerca de las ’’matemáticas modernas’’ desconectadas de la realidad, lo que ha causado su pérdida :

Uno de los argumentos a menudo sostenidos en este debate es que una prioridad actual para la enseñanza de las matemáticas en Francia es volver a dar un lugar a las estructuras fundamentales del álgebra y de la geometría. Ahora bien, si esas fundaciones fueron sacrificadas, es en gran medida porque el período de las ’’matemáticas modernas’’ torpemente las había desconectado de justificaciones que -en su momento- podían encontrarse, en especial, en los vínculos con la física.

La verdad es un poco diferente. La muerte de las matemáticas modernas en el liceo tiene múltiples causas que se conjugaron. La primera fue la penuria de los profesores de matemáticas en los años 1980 (derivada de la cuasi paralización de las contrataciones a fines de los años 1970 —había que combatir la inflación...— y al aumento vertiginoso de la necesidad de informáticos, lo que desvió una parte de los potenciales candidatos hacia empleos netamente más lucrativos). Me acuerdo de discusiones en la mesa de mis padres acerca de un experimento para remediar esta penuria : se había proyectado hacer un llamado a los ingenieros, pagándoles más que a los profesores (no hace falta decir que esta solución no fue considerada por mucho tiempo...). Como había falta de profesores (y el objetivo de que 80% de una generación llegara al bachillerato no arregló las cosas) no quedaban muchas soluciones más : ya fuese hacer una gran campaña de contrataciones, o disminuir los horarios de matemáticas y, en la locura, achicar los programas. Desafortunadamente se eligió lo segundo (no es imposible que la relación conflictiva que mantenía cierto consejero oculto y futuro ministro con las matemáticas (pre modernas) haya jugado un papel en esta elección). Por supuesto, no se podía disminuir los horarios de la noble materia del área científica sin justificación (aparte de la financiera), y fue necesario comenzar a mermar el prestigio de las matemáticas (con argumentos como el de más abajo, que data de la gran época de la guerra entre las matemáticas puras y las matemáticas aplicadas, y otros que se apoyaban en los errores de los inicios de la enseñanza de las matemáticas modernas) [1].

La ofensiva de los estadísticos dio el último toque al trabajo (yo no sé en qué medida influyó en el proceso la presencia de un estadístico reticente a la geometría a la cabeza del Consejo Nacional de Programas).

Esta ofensiva es bastante antigua. Me topé con un libro de Arthur Engel (traducido del alemán) que data de 1975, cuyo prólogo comienza con « Probabilidades y Estadística » son hoy en día herramientas indispensables en todas las ciencias. No es sino cosa de tiempo para que ellas entren en la escuela. Su introducción en los cursos, de todos los niveles, enriquecerá notablemente el contenido matemático y lo hará más interesante y eficaz.
La predicción de la última frase lamentablemente no se cumplió, es lo menos que uno puede decir [2].

Los probabilistas de mi generación, con los cuales he discutido el tema, me han dicho que se aterraron cuando supieron que las estadísticas iban a hacer su aparición en el liceo [3] y que lo estaban aún más ante el resultado ; los profesores de preparatoria parecen un poco asombrados por el nivel de los alumnos que recuperan. Los únicos que parecen estar contentos por lo que ocurrió son los estadísticos de la generación anterior (incluso, ellos mismos no pueden sino comprobar que hay un problema).

Me parece que sería urgente analizar las causas de la catástrofe actual, y no lamentar que no se haga aún más exigencias.

Esas reacciones de rechazo acaban de manifestarse -y eso nos parece muy grave- en los proyectos de programas de matemáticas sometidos a consulta en mayo y junio de 2013, para los segundos años de cursos preparatorios científicos. No es sólo la estadística la que es víctima de ostracismo, ya que está totalmente ausente, sino también el cálculo de probabilidades que está muy reducido en sus ambiciones...

Estoy bastante de acuerdo con los autores en que la ausencia de leyes normales y exponenciales es muy incomprensible, pero esas no son las únicas omisiones extrañas : por ejemplo, el hecho de que el álgebra lineal se haga sobre un sub-cuerpo del cuerpo de los complejos es absolutamente incomprensible en una época donde los ingenieros informáticos crean tantas riquezas como los de las industrias clásicas.

Una enseñanza rigurosa de la estadística sin un contenido matemático suficiente me parece que plantea un verdadero problema. Se trata sólo de hacer entender que frecuencia y probabilidad son, en general, lo mismo. Eso no crea problema. Por el contrario, cuando se quiere cuantificar la diferencia -lo que uno tiene derecho a esperar de un tratamiento matemático- uno se enfrenta a verdaderas dificultades. Yo todavía no he logrado comprender lo que significa exactamente « la proporción $p$ es elemento del intervalo $[f-1/\sqrt{n},f+1/\sqrt{n}]$ con una tasa de confianza de más de 95%, donde $f$ designa la frecuencia observada sobre una muestra de tamaño $n$ » (este enunciado parece ser el objetivo de toda la enseñanza matemática de la sección científica en el liceo).

No es que no consiga comprender lo que eso quiera decir desde un punto de vista intuitivo, pero es la significación matemática la que se me escapa (¡el colmo !) : me parece que en ausencia de indicaciones referidas a la distribución potencial de $p$, esta frase no tiene ningún sentido [4]. De repente, tengo dudas sobre lo que se pueda realmente hacer en los cursos de Preparatoria (sobre todo con el actual nivel de enseñanza en el liceo, en parte por el hecho de la presencia de un gran módulo de estadística), pero uno podría darse como objetivo demostrar ciertos casos del teorema del límite central sobre el cual descansan muchas cosas (eso queda en el campo de las probabilidades, pero puede preparar el terreno para una enseñanza en la escuela de ingeniería). No hay que olvidar que el espíritu de los cursos de preparatoria es bastante particular y que los alumnos ya están traumatizados por la existencia de una infinidad de potenciales trampas en preguntas que no estarían incluidas en una enseñanza clásica.

Notes

[1Se trata de un procedimiento totalmente clásico que se puede ver en acción en el alineamiento actual de los impuestos al diésel en relación con los de la gasolina : para lograrlo, se debió resaltar antes el carácter cancerígeno del diésel (no estoy negando que el diésel sea cancerígeno, pero si de verdad es peligroso la lógica sería que se lo prohibiera, más que alinear su precio con el de la gasolina). El mismo método fue usado para aumentar en un tercio la carga de enseñanza de los profesores de universidad : como gozaban más bien de una buena reputación, comenzaron por quebrarla, y las universidades actualmente aún pagan el precio.

[2El libro mismo honra su prólogo, que continúa con Es un libro de trabajo. En efecto, ¡qué cantidad de trabajo representan los ejemplos citados y comentados, así como los ejercicios planteados ! Se ha hecho un gran esfuerzo para convertir la obra en algo interesante y original.

[3Las matemáticas modernas dieron un paso no nulo a las probabilidades en el último grado antes del Bachillerato (con la ley binominal, la ley de los grandes números y la desigualdad de Bienaymé-Tchebychev (nombre muy impresionante para un liceano...) pero no el teorema de Moivre y Laplace), lo que permitió enriquecer la combinatoria de la clase de primer grado (que ha pasado por pérdidas y beneficios desde entonces). Es bastante ridículo que esta enseñanza no haya sido reforzada en los cursos preparatorios en aquel momento.

[4Llego a pensar que la desaparición de la definición rigurosa de un límite está destinada a que los alumnos terminen por encontrar normal que las notaciones que uno les enseña estén rodeadas de un halo artístico, y que sobre todo no se planteen preguntas.

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Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Matemáticas post-modernas» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

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