Mathématiques et bicyclettes

Piste verte Le 4 janvier 2012  - Ecrit par  Andrea Baciotti Voir les commentaires (1)

Cet article a été écrit en partenariat avec Traductions

Cet article est paru dans le magazine en ligne Xlatangente sous le titre original « Che cosa c’entra la matematica con la bicyclette ? ». Il a été traduit pour Images des Maths par Paolo Bellingeri que nous remercions chaleureusement.

Habitués, comme nous le sommes maintenant, à manier portables, ordinateurs, GPS, lecteurs de CD, DVD, MP3 et peut-être maintes autres diableries électroniques, une bicyclette peut nous paraître, au point de vue technologique, un objet très rudimentaire et désuet. Pourtant, à peine plus de 100 ans se sont écoulés depuis l’apparition des bicyclettes. Vers 1880 on produisait et on commercialisait encore des vélocipèdes comme ceux qui aujourd’hui se voient seulement dans les films d’époque et dans les musées : dépourvus de chaîne et avec la roue antérieure bien plus grande que celle postérieure. Ces véhicules étaient plutôt dangereux : la selle sur laquelle le cycliste devait s’asseoir était en effet positionnée en haut et déplacée vers l’avant. Une chute banale pouvait donc avoir des conséquences sérieuses. Au bout de quelques années les constructeurs avaient déjà résolu le problème : la bicyclette était devenue plus sûre grâce à quelques améliorations structurelles qui sont restées substantiellement inchangées jusqu’à nos jours.
 

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« Canguro » 1880, Museo Nazionale della Scienza e della Tecnologia "Leonardo da Vinci”, Milan Italie. 

Surtout, la bicyclette était devenue bien plus stable en mouvement. Par le terme « stable », on indique la capacité d’un dispositif à maintenir une certaine configuration, même sous l’effet de petites perturbations. Par exemple, la même bicyclette, en arrêt et en position verticale, est instable : il suffit en effet d’une minuscule déviation de la position du barycentre pour la faire tomber. Pourquoi est-il par contre si facile de maintenir l’équilibre quand la bicyclette voyage à une vitesse suffisamment haute, au point que presque tous sont capables de rouler même ’’sans mains’’ ? Pour répondre à cette question, un prix académique fut institué vers la fin du dix-neuvième siècle. Depuis lors, de nombreux spécialistes (ingénieurs, physiciens et mathématiques) se sont intéressés au problème : cependant, une solution complète et entièrement satisfaisante n’a pas encore été trouvée.

Le principal responsable de la stabilité d’une bicyclette en mouvement semble être la force centrifuge, c’est-à-dire la force que nous ressentons quand, debout dans un autobus, le chauffeur effectue un virage brusque, disons vers la gauche : si on ne se tient pas, on est projeté contre le mur droit de l’autobus.
Supposons que le cycliste en mouvement s’aperçoive que la bicyclette commence à perdre l’équilibre vers la gauche : il remédiera à ce problème en tournant le guidon vers la gauche. Dès le virage amorcé, la force centrifuge pousse le barycentre de la bicyclette vers la droite, ce qui permet donc à la bicyclette de se rapprocher de la position d’équilibre. Cela peut sembler surprenant, mais la bicyclette est capable d’accomplir cette manoeuvre toute seule, même sans l’intervention du cycliste.

En effet, quand la bicyclette s’incline d’un côté, entrent en jeu des forces de nature différente qui tendent à la faire tourner du coté vers lequel elle est en train de s’incliner. La plus connue de ces forces est due à l’effet gyroscopique. En réalité, l’effet gyroscopique est sensible dans les motocyclettes, qui ont des roues lourdes et atteignent des vitesses élevées, mais il est négligeable dans le cas des bicyclettes, comme il l’a aussi été montré expérimentalement. La force la plus importante qui contribue à la stabilité de la bicyclette est due, probablement, à la structure de l’avant-train, et en particulier à l’inclinaison de l’axe de la fourche, et à la distance, mesurée au sol, entre le centre de la roue antérieure et le point que l’on obtient en imaginant qu’on prolonge jusqu’au sol l’axe de la fourche.

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Bicyclette à cadre, 1885 Museo Nazionale della Scienza e della Tecnologia "Leonardo da Vinci”, Milan, Italie.

L’existence d’une telle force peut être observée aussi quand une bicyclette est à l’arrêt : si on incline la bicyclette lentement d’un coté, on s’aperçoit qu’à un moment la roue antérieure tournera toute seule vers le même coté. La manoeuvre de stabilisation de la bicyclette en mouvement est complétée par le frottement du pneu antérieur qui, en traînant sur le terrain, engendre une force contraire qui fait se réaligner la roue avec le châssis.

Pour comprendre et analyser ces phénomènes, soit du point de vue qualitatif, soit du point de vue quantitatif, il est nécessaire d’élaborer des modèles mathématiques appropriés (et, bien sûr, d’avoir une connaissance approfondie de la physique du problème). Cherchons à comprendre en quoi consiste ce problème de modélisation.

Imaginons un corps avec masse, sujet à l’action de la force de gravité. S’il ne trouve pas d’obstacles, le corps bouge en décrivant une trajectoire : la position $P$ qu’il occupe dans l’espace change, et peut dont s’interpréter comme une fonction du temps : $P = P(t)$. Les lois fondamentales de la mécanique permettent d’écrire des relations entre $P(t)$ et les fonctions qui représentent la vitesse et l’accélération du corps. Ces autres fonctions se trouvent être, respectivement, les dérivées première et seconde de $P (t)$. Pour cette raison, les formules qui font intervenir la position, la vitesse et l’accélération, et dans lesquelles $P(t)$ apparaît comme inconnue, s’appellent équations différentielles.

Un exemple très simple est donné par un pendule composé d’une tige verticale pouvant osciller autour d’un axe de rotation horizontal : une extrémité de la tige est fixée et représente le pivot du système, tandis que la masse est concentrée sur l’autre extrémité. Quand la tige est en position verticale avec le pivot en haut et la masse en bas, en donnant un petit coup nous observerons des oscillations persistantes de petite ampleur : dans cette position, le pendule a un équilibre stable. L’équation du mouvement prend la forme
\[P '' + kP = 0, \]
où maintenant $P$ représente l’angle à chaque instant avec la verticale, $P''$ indique l’accélération, c’est-à-dire la dérivée seconde de $P$, et $k$ est une constante positive qui dépend de la longueur de la tige et de l’intensité du champ gravitationnel. Une bicyclette en arrêt maintenue en position verticale peut être vue, en simplifiant, comme un pendule inversé, c’est-à-dire positionné de manière à ce que l’extrémité avec la masse se trouve en haut et le pivot en bas. Dans ce cas l’équation devient
\[P '' - kP=0.\]

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Prototype de tricycle de Giovanni Ropolo

Le changement de signe provoque un changement radical du point de vue de la stabilité : en effet, il suffit maintenant d’une petite perturbation pour compromettre irrémédiablement l’équilibre de la bicyclette.
Quand la bicyclette est en mouvement, il faut introduire de nouvelles variables pour décrire la dynamique du mouvement, et les équations différentielles deviennent plus compliquées. Il est cependant possible de montrer que si la vitesse est assez élevée, l’équilibre est maintenu de manière stable. L’étude de ces équations fournit des renseignements qui peuvent être utiles, en phase de projet, pour améliorer les performances et les caractéristiques techniques du véhicule.

Aujourd’hui, dans le domaine académique comme dans celui industriel, on s’intéresse à l’expérimentation de véhicules avec trois roues : les tricycles.
Un des problèmes principaux réside dans le fait qu’un tricycle, en ayant trois points d’appui au sol, au contraire de la bicyclette, est stable en position d’arrêt, mais ne peut pas s’incliner dans un virage et donc ne peut pas contrebalancer l’effet de la force centrifuge. En affrontant un virage à vitesse trop élevée on peut donc courir de sérieux risques... Pour qu’un tricycle s’incline dans un virage il est nécessaire de recourir à des améliorations technologiques assez sophistiquées et avancées. Dans ce cas aussi la modélisation mathématique peut nous être d’une grande aide.

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Pour citer cet article :

Andrea Baciotti — «Mathématiques et bicyclettes» — Images des Mathématiques, CNRS, 2012

Crédits image :

Bicyclette à cadre, 1885 Museo Nazionale della Scienza e della Tecnologia "Leonardo da Vinci”, Milan, Italie. - Canguro 1880 Museo Nazionale della Scienza e della Tecnologia "Leonardo da Vinci” , Milan, Italie. 
Prototype de tricycle de Giovanni Ropolo - http://www.xlatangente.it/xlatangente/articleById.do?id=239
« Canguro » 1880, Museo Nazionale della Scienza e della Tecnologia "Leonardo da Vinci”, Milan Italie.  - http://www.xlatangente.it/xlatangente/articleById.do?id=239

Commentaire sur l'article

  • Mathématiques et bicyclettes

    le 12 janvier 2012 à 16:36, par Nicolas Tholozan

    Un jour, en me promenant à vélo avec des amis, nous nous sommes demandé comment on faisait pour tourner. L’un d’eux me soutenait qu’il fallait tourner le guidon, et je prétendais qu’à grande vitesse, il suffisait de se pencher sur le côté.

    Merci pour cet article qui semble nous mettre d’accord !

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