Mathématiques post-modernes

Le 4 octobre 2013  - Ecrit par  Pierre Colmez Voir les commentaires (26)

Ce billet se veut une réponse partielle aux arguments en faveur de l’enseignement de
la statistique énoncés dans le billet de Pierre Arnoux et Jean-Pierre Raoult.
Commençons par le sempiternel couplet sur les « maths modernes » déconnectées de la réalité,
ce qui a causé leur perte :
Un des arguments souvent avancés dans ce débat est qu’une priorité actuelle pour l’enseignement des mathématiques dans ce pays est de redonner une place aux structures fondamentales de l’algèbre et de la géométrie ; or si ces fondations ont été sacrifiées, c’est en grande partie parce que la période des « maths modernes » les avait maladroitement disconnectées de justifications qui, à l’époque, pouvaient se trouver en particulier dans les liens avec la physique.
La vérité est un peu différente. La mort des maths modernes au lycée a plusieurs causes qui se sont conjuguées,
la première a été la pénurie de profs de maths au cours des années 1980 (suite au quasi-arrêt des recrutements
à la fin des années 1970 - il fallait combattre l’inflation... - et à la montée en puissance des besoins en
informaticiens qui a détourné une partie des candidats potentiels vers des emplois nettement plus lucratifs) ; je me
souviens de discussions à la table de mes parents au sujet d’un ballon d’essai pour remédier à cette pénurie : il
était envisagé de faire appel à des ingénieurs en les payant plus que les profs (inutile de dire que
cette solution n’a pas été envisagée très longtemps...). Comme on manquait de profs (et l’objectif
d’amener 80% d’une classe d’âge au baccalauréat n’a pas arrangé les choses), il ne restait
plus beaucoup de solutions : soit on faisait une grande campagne de recrutements, soit on
diminuait les horaires de maths et, dans la foulée, les programmes. C’est, malheureusement,
la seconde solution qui a été choisie (il n’est pas impossible que la relation conflictuelle
qu’entretenait certain conseiller occulte, et futur ministre, avec les mathématiques (pré-modernes) ait joué
un rôle dans ce choix). Bien sûr, on ne pouvait pas diminuer les horaires de la matière noble
de la série scientifique sans justification (autre que de gros sous), et donc il a fallu
commencer par écorner le prestige des mathématiques (avec des arguments comme celui ci-dessus datant
de la grande époque de la guerre entre les maths pures et les maths appliquées, et
d’autres s’appuyant sur les erreurs des débuts de l’enseignement des maths modernes)
 [1].
L’offensive des statisticiens a parachevé le travail (je ne sais pas en quelle mesure
la présence d’un statisticien réfractaire à la géométrie
à la tête du Conseil National des programmes a influé sur le processus).

Cette offensive est assez ancienne. Je suis tombé sur un livre
de Arthur Engel (traduit de l’allemand) datant de 1975, dont l’avant-propos
commence par « Probabilités et Statistique » sont aujourd’hui des outils
indispensables dans toutes les sciences. Ce n’est plus qu’une question de
temps pour qu’elles entrent à l’école. leur introduction dans les classes,
à tous les niveaux, enrichira notablement le contenu mathématique,
le rendra plus intéressant et efficace
.
La prédiction de la dernière phrase ne s’est malheureusement pas
réalisée, c’est le moins que l’on puisse dire [2].
Les probabilistes de ma génération avec lesquels j’ai discuté du sujet m’ont dit avoir été atterrés quand ils ont appris que les statistiques allaient faire leur apparition
au lycée [3], et qu’ils l’étaient encore plus devant le résultat ; les profs de prépas semblent
un peu étonnés par le niveau des élèves qu’ils récupèrent. Les seuls qui
semblent être contents de ce qu’il s’est passé sont des statisticiens de la génération précédente
(et encore, même eux ne peuvent que constater qu’il y a un problème).
Il me semble qu’il serait urgent d’analyser les causes de la catastrophe actuelle,
et pas de déplorer que l’on ne charge pas encore un peu plus la barque
Ces réactions de rejet viennent, et ceci nous paraît très grave,
de se manifester dans les projets de programmes de mathématiques mis en consultation, en mai et juin 2013,
pour les secondes années des classes préparatoires scientifiques.
C’est non seulement la statistique qui y est victime d’ostracisme, car totalement absente,
mais aussi le calcul des probabilités qui y est très réduit dans ses ambitions...
Je suis assez d’accord avec les auteurs que
l’absence des lois normales et exponentielles est assez incompréhensible, mais ce ne sont pas les
seules omissions qui sont étranges : par exemple, le fait que l’algèbre linéaire
se fasse sur un sous-corps du corps des complexes est parfaitement incompréhensible
à une époque où les ingénieurs informaticiens créent autant de richesses
que ceux des industries classiques.

Un enseignement rigoureux de la statistique
me semble poser un vrai problème sans un bagage mathématique suffisant.
S’il s’agit juste de laisser entendre que fréquence et probabilité
sont en gros la même chose, cela ne pose pas de problème. Par contre,
si on veut quantifier la différence, ce que l’on est en droit
d’attendre d’un traitement mathématique, on se heurte à de vraies difficultés.
Je n’ai toujours pas réussi
à comprendre ce que signifie exactement
« la proportion $p$ est élément de l’intervalle $[f-1/\sqrt{n},f+1/\sqrt{n}]$ avec un taux de confiance de plus de 95%, où $f$ désigne la fréquence observée sur un échantillon de taille $n$ » (cet énoncé semble être le but de tout l’enseignement mathématique en section scientifique au lycée).
Je n’ai pas de mal à saisir ce que cela peut vouloir dire d’un point de vue intuitif, mais c’est la signification
mathématique qui m’échappe (un comble !) : il me semble
qu’en l’absence de renseignements concernant la distribution potentielle de $p$, cette phrase n’a aucun sens
 [4].
Du coup, j’ai des doutes sur ce qu’on peut vraiment faire en classe préparatoire
(surtout avec le niveau actuel de l’enseignement au lycée, en partie du fait
de la présence d’un gros module de statistique), mais on pourrait
se donner comme but de démontrer certains cas du théorème de la limite centrale
sur lequel beaucoup de choses reposent (cela reste du domaine des probabilités mais
peut préparer le terrain pour un enseignement en école d’ingénieurs).
Il ne faut pas oublier que l’esprit des classes préparatoires est assez particulier
et que les élèves sont déjà traumatisés par l’existence d’une infinité
de pièges potentiels dans des questions qui n’en comporteraient pas
dans un enseignement classique.

Notes

[1Il s’agit d’un procédé parfaitement classique que l’on peut voir à l’oeuvre
dans l’alignement actuel de la fiscalité du diesel sur celui de l’essence classique : pour y arriver,
il a fallu mettre en avant le caractère cancérigène du diesel (je ne suis pas en train
de nier que le diesel soit cancérigène, mais s’il est vraiment dangereux, la logique
voudrait qu’on l’interdise plutôt qu’on aligne son prix sur celui de l’essence).
Le même procédé a été utilisé pour augmenter d’un tiers la charge
d’enseignement des profs de fac : comme ils jouissaient plutôt d’une bonne réputation,
il a fallu commencer par la casser, et les universités en payent encore le prix à l’heure actuelle.

[2Le livre lui-même
fait honneur à son avant-propos qui continue par C’est un livre
de travail. En effet, quelle somme de travail représentent les exemples
cités et commentés ainsi que les exercices posés ! Un grand effort
a été fait pour rendre l’ouvrage intéressant et original.

[3Les maths modernes avaient fait une place non nulle aux probabilités
en terminale (avec la loi binomiale, la loi des grands nombres et l’inégalité de
Bienaymé-Tchebychev (nom tr\es impressionnant pour un lycéen...) mais pas
le théorème de Moivre Laplace), ce qui permettait d’enrichir la combinatoire
de la classe de première (qui est passée par pertes et profits depuis).
Il est assez ridicule que cet enseignement n’ait pas été renforcé dans
les classes préparatoires à l’époque.

[4J’en viens à penser que la disparition de la définition rigoureuse d’une limite
est destinée à ce que les élèves en viennent à trouver normal
que les notions qu’ont leur introduit soient entourées d’un flou artistique
et qu’ils ne se posent surtout pas de questions.

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Pour citer cet article :

Pierre Colmez — «Mathématiques post-modernes» — Images des Mathématiques, CNRS, 2013

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  • Mathématiques post-modernes

    le 7 octobre 2013 à 08:51, par Karen Brandin

    À aucun moment, il s’agit de suggérer qu’il n’y a pas de manière motivée et parfaitement rigoureuse d’énoncer ces résultats de statistiques mais simplement d’insister sur le fait que dans le contexte d’une classe de seconde puis d’une terminale S/ES, les élèves ne disposent pas du bagage qui leur permettraient d’y voir autre chose qu’une recette un peu magique à appliquer. Lorsque l’on examine les exercices bâtis autour de ce thème au bac session 2013, il s’agissait systématiquement d’applications directes, applications dont on pouvait s’acquitter sans avoir compris un traître mot du cours.

    On fait des élèves des consommateurs de mathématiques, des consommateurs de modèles ; malheureusement, cette situation de passivité en satisfait la plupart mais à aucun moment, elle les laisse médusés en se disant : « oh que les maths sont belles et efficaces ». On ne leur a même pas demandé de contrôler les conditions d’application du théorème de Moivre-Laplace ou ne serait-ce que de le citer. Lorsqu’il s’est imposé, la question commençait « on admettra que ... » ; pourquoi dans ce cas l’énoncer en cours puisqu’au final, il y aura la réponse dans le texte ?

    Peut-être que l’on a crié au loup trop tôt, ou trop souvent, mais la situation est vraiment critique.

    J’ai toujours abordé le cours du second degré en 1S avec sérénité car c’est un chapitre agréable parfait pour débuter l’année et rassurer les élèves ; pour la première fois en huit ans, c’est un calvaire au point que certains m’ont demandée, dépassés le nombre de contextes différents qui pouvaient conduire à du second degré, s’il n’était pas possible de leur dresser une liste des questions les plus fréquentes :-( !!!

    Dans le même temps, je travaille avec une jeune fille qui suit un double cursus prépa/ fac en économie dans le but d’intégrer l’ENS Cachan et là encore, on se fait peur à chaque instant. Le programme se distingue malgré tout d’une prépa ECE mais il est, dans son genre, très dense.

    Le prof commence par un chapitre de logique puis enchaîne -très rapidement selon la coutume - sur les polynômes sauf que « second degré avec paramètre », elle ne connait pas ; « les équations bicarrées », elle ne connait pas (idem pour tout autre changement de variable) ; « factoriser un polynôme de degré 3 connaissant une racine évidente », idem ; idem des équations irrationnelles etc ...

    Le chapitre suivant concerne les applications ; la parité qui peut être bien utile lorsque l’on veut mpontrer qu’une fonction n’est pas injective par exemple, n’est pas une notion abordée en ES ; la fonction valeur absolue, inconnue au bataillon donc impossible de résoudre les exercices qui la font intervenir et c’est comme cela, sans fin.

    En macroéconomie, ils ont dès le départ besoin de calculer des dérivées partielles sauf que même pour les élèves qui avaient suivi le programme de spécialité en terminale, les fonctions à deux variables ont été sorties du programme.

    Vous imaginez la masse d’informations que ces élèves ont dû assimiler en un mois ; ils sont obligés d’appliquer sans comprendre. La jeune fille en question que je suis depuis trois ans est très sérieuse ; elle n’a pas eu 03 au bac, elle a eu 20 donc elle aurait pu s’attendre à ne pas être à ce point mise en difficulté.

    C’est effarant et je trouve choquant, très triste aussi que si peu de voix s’élèvent. Celles que l’on entend sont souvent prestigieuses donc c’est encourageant pour ceux qui sont « sur » (ou plutôt « sous » désormais) le terrain, mais il n’en reste pas moins que « l’union fait la force ».

    Enfin, à ceux qui prônent les maths utiles comme solution à tous les maux (voire les maths du quotidien), c’est-à-dire prenant appui sur des situations concrètes, je conseille de s’immerger dans une classe de ES car en section économique, les études de fonctions sont en général constituées de deux grandes parties : une partie A abstraite avec les questions classiques (dérivées, tableau de variation, TVI ...) et une partie B où la fonction qui s’appelait jusq’alors et de manière très originale « f » s’appelle tout à coup « C » car elle devient une fonction de coût. Vient ensuite la fonction « Recette » et bien entendu la fonction « Bénéfice » dont on demande de vérifier qu’elle admet un maximum. La partie B n’est pratiquement jamais traitée alors que c’est en général une relecture de la partie A, il n’y a aucune prise d’initiative sinon celle de faire « le lien » ...

    C’est une preuve je crois que pour des élèves en difficultés, prendre des exemples dans la vie courante ou provenant d’autres disciplines demande un effort d’adaptation en plus de l’effort mathématique donc non seulement cela ne les aide pas mais comme ils disent si bien : « ça les embrouille ».

    C’est lorsqu’ils se sentent plus à l’aise, plus en confiance, qu’ils acceptent enfin de lâcher prise et renoncent à ce « deux poids, deux mesures » en s’adaptant à des contextes plus imagés. Il faut là encore laisser le temps au temps.

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