Mathématiques post-modernes

Le 4 octobre 2013  - Ecrit par  Pierre Colmez Voir les commentaires (26)

Ce billet se veut une réponse partielle aux arguments en faveur de l’enseignement de
la statistique énoncés dans le billet de Pierre Arnoux et Jean-Pierre Raoult.
Commençons par le sempiternel couplet sur les « maths modernes » déconnectées de la réalité,
ce qui a causé leur perte :
Un des arguments souvent avancés dans ce débat est qu’une priorité actuelle pour l’enseignement des mathématiques dans ce pays est de redonner une place aux structures fondamentales de l’algèbre et de la géométrie ; or si ces fondations ont été sacrifiées, c’est en grande partie parce que la période des « maths modernes » les avait maladroitement disconnectées de justifications qui, à l’époque, pouvaient se trouver en particulier dans les liens avec la physique.
La vérité est un peu différente. La mort des maths modernes au lycée a plusieurs causes qui se sont conjuguées,
la première a été la pénurie de profs de maths au cours des années 1980 (suite au quasi-arrêt des recrutements
à la fin des années 1970 - il fallait combattre l’inflation... - et à la montée en puissance des besoins en
informaticiens qui a détourné une partie des candidats potentiels vers des emplois nettement plus lucratifs) ; je me
souviens de discussions à la table de mes parents au sujet d’un ballon d’essai pour remédier à cette pénurie : il
était envisagé de faire appel à des ingénieurs en les payant plus que les profs (inutile de dire que
cette solution n’a pas été envisagée très longtemps...). Comme on manquait de profs (et l’objectif
d’amener 80% d’une classe d’âge au baccalauréat n’a pas arrangé les choses), il ne restait
plus beaucoup de solutions : soit on faisait une grande campagne de recrutements, soit on
diminuait les horaires de maths et, dans la foulée, les programmes. C’est, malheureusement,
la seconde solution qui a été choisie (il n’est pas impossible que la relation conflictuelle
qu’entretenait certain conseiller occulte, et futur ministre, avec les mathématiques (pré-modernes) ait joué
un rôle dans ce choix). Bien sûr, on ne pouvait pas diminuer les horaires de la matière noble
de la série scientifique sans justification (autre que de gros sous), et donc il a fallu
commencer par écorner le prestige des mathématiques (avec des arguments comme celui ci-dessus datant
de la grande époque de la guerre entre les maths pures et les maths appliquées, et
d’autres s’appuyant sur les erreurs des débuts de l’enseignement des maths modernes)
 [1].
L’offensive des statisticiens a parachevé le travail (je ne sais pas en quelle mesure
la présence d’un statisticien réfractaire à la géométrie
à la tête du Conseil National des programmes a influé sur le processus).

Cette offensive est assez ancienne. Je suis tombé sur un livre
de Arthur Engel (traduit de l’allemand) datant de 1975, dont l’avant-propos
commence par « Probabilités et Statistique » sont aujourd’hui des outils
indispensables dans toutes les sciences. Ce n’est plus qu’une question de
temps pour qu’elles entrent à l’école. leur introduction dans les classes,
à tous les niveaux, enrichira notablement le contenu mathématique,
le rendra plus intéressant et efficace
.
La prédiction de la dernière phrase ne s’est malheureusement pas
réalisée, c’est le moins que l’on puisse dire [2].
Les probabilistes de ma génération avec lesquels j’ai discuté du sujet m’ont dit avoir été atterrés quand ils ont appris que les statistiques allaient faire leur apparition
au lycée [3], et qu’ils l’étaient encore plus devant le résultat ; les profs de prépas semblent
un peu étonnés par le niveau des élèves qu’ils récupèrent. Les seuls qui
semblent être contents de ce qu’il s’est passé sont des statisticiens de la génération précédente
(et encore, même eux ne peuvent que constater qu’il y a un problème).
Il me semble qu’il serait urgent d’analyser les causes de la catastrophe actuelle,
et pas de déplorer que l’on ne charge pas encore un peu plus la barque
Ces réactions de rejet viennent, et ceci nous paraît très grave,
de se manifester dans les projets de programmes de mathématiques mis en consultation, en mai et juin 2013,
pour les secondes années des classes préparatoires scientifiques.
C’est non seulement la statistique qui y est victime d’ostracisme, car totalement absente,
mais aussi le calcul des probabilités qui y est très réduit dans ses ambitions...
Je suis assez d’accord avec les auteurs que
l’absence des lois normales et exponentielles est assez incompréhensible, mais ce ne sont pas les
seules omissions qui sont étranges : par exemple, le fait que l’algèbre linéaire
se fasse sur un sous-corps du corps des complexes est parfaitement incompréhensible
à une époque où les ingénieurs informaticiens créent autant de richesses
que ceux des industries classiques.

Un enseignement rigoureux de la statistique
me semble poser un vrai problème sans un bagage mathématique suffisant.
S’il s’agit juste de laisser entendre que fréquence et probabilité
sont en gros la même chose, cela ne pose pas de problème. Par contre,
si on veut quantifier la différence, ce que l’on est en droit
d’attendre d’un traitement mathématique, on se heurte à de vraies difficultés.
Je n’ai toujours pas réussi
à comprendre ce que signifie exactement
« la proportion $p$ est élément de l’intervalle $[f-1/\sqrt{n},f+1/\sqrt{n}]$ avec un taux de confiance de plus de 95%, où $f$ désigne la fréquence observée sur un échantillon de taille $n$ » (cet énoncé semble être le but de tout l’enseignement mathématique en section scientifique au lycée).
Je n’ai pas de mal à saisir ce que cela peut vouloir dire d’un point de vue intuitif, mais c’est la signification
mathématique qui m’échappe (un comble !) : il me semble
qu’en l’absence de renseignements concernant la distribution potentielle de $p$, cette phrase n’a aucun sens
 [4].
Du coup, j’ai des doutes sur ce qu’on peut vraiment faire en classe préparatoire
(surtout avec le niveau actuel de l’enseignement au lycée, en partie du fait
de la présence d’un gros module de statistique), mais on pourrait
se donner comme but de démontrer certains cas du théorème de la limite centrale
sur lequel beaucoup de choses reposent (cela reste du domaine des probabilités mais
peut préparer le terrain pour un enseignement en école d’ingénieurs).
Il ne faut pas oublier que l’esprit des classes préparatoires est assez particulier
et que les élèves sont déjà traumatisés par l’existence d’une infinité
de pièges potentiels dans des questions qui n’en comporteraient pas
dans un enseignement classique.

Notes

[1Il s’agit d’un procédé parfaitement classique que l’on peut voir à l’oeuvre
dans l’alignement actuel de la fiscalité du diesel sur celui de l’essence classique : pour y arriver,
il a fallu mettre en avant le caractère cancérigène du diesel (je ne suis pas en train
de nier que le diesel soit cancérigène, mais s’il est vraiment dangereux, la logique
voudrait qu’on l’interdise plutôt qu’on aligne son prix sur celui de l’essence).
Le même procédé a été utilisé pour augmenter d’un tiers la charge
d’enseignement des profs de fac : comme ils jouissaient plutôt d’une bonne réputation,
il a fallu commencer par la casser, et les universités en payent encore le prix à l’heure actuelle.

[2Le livre lui-même
fait honneur à son avant-propos qui continue par C’est un livre
de travail. En effet, quelle somme de travail représentent les exemples
cités et commentés ainsi que les exercices posés ! Un grand effort
a été fait pour rendre l’ouvrage intéressant et original.

[3Les maths modernes avaient fait une place non nulle aux probabilités
en terminale (avec la loi binomiale, la loi des grands nombres et l’inégalité de
Bienaymé-Tchebychev (nom tr\es impressionnant pour un lycéen...) mais pas
le théorème de Moivre Laplace), ce qui permettait d’enrichir la combinatoire
de la classe de première (qui est passée par pertes et profits depuis).
Il est assez ridicule que cet enseignement n’ait pas été renforcé dans
les classes préparatoires à l’époque.

[4J’en viens à penser que la disparition de la définition rigoureuse d’une limite
est destinée à ce que les élèves en viennent à trouver normal
que les notions qu’ont leur introduit soient entourées d’un flou artistique
et qu’ils ne se posent surtout pas de questions.

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Pour citer cet article :

Pierre Colmez — «Mathématiques post-modernes» — Images des Mathématiques, CNRS, 2013

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  • Mathématiques post-modernes, suite et fin ?

    le 11 octobre 2013 à 14:23, par Pierre Colmez

    Maintenant que nous avons compris nos incompréhensions respectives, il reste une question en suspens, à savoir : pourquoi fournit-on aux lycéens un énoncé aussi ambigu au lieu de leur dire que « si on tire $n$ boules au hasard dans une urnecontenant une proportion $p$ de boules noires, l’écart entre la fréquence $f$ observée et $p$ est inférieur où égal à $1/\sqrt{n}$ dans plus de 95% des cas » ?
    Cela fournit un énoncé plus souple, symétrique en $f$ et $p$, et non ambigu (je ne suis pas sûr d’être le seul à avoir des problèmes avec l’énoncé original ; c’est en tout cas ce que Vincent Beffara laisse entendre ci-dessus).

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