Mathématiques post-modernes

Le 4 octobre 2013  - Ecrit par  Pierre Colmez Voir les commentaires (26)

Ce billet se veut une réponse partielle aux arguments en faveur de l’enseignement de
la statistique énoncés dans le billet de Pierre Arnoux et Jean-Pierre Raoult.
Commençons par le sempiternel couplet sur les « maths modernes » déconnectées de la réalité,
ce qui a causé leur perte :
Un des arguments souvent avancés dans ce débat est qu’une priorité actuelle pour l’enseignement des mathématiques dans ce pays est de redonner une place aux structures fondamentales de l’algèbre et de la géométrie ; or si ces fondations ont été sacrifiées, c’est en grande partie parce que la période des « maths modernes » les avait maladroitement disconnectées de justifications qui, à l’époque, pouvaient se trouver en particulier dans les liens avec la physique.
La vérité est un peu différente. La mort des maths modernes au lycée a plusieurs causes qui se sont conjuguées,
la première a été la pénurie de profs de maths au cours des années 1980 (suite au quasi-arrêt des recrutements
à la fin des années 1970 - il fallait combattre l’inflation... - et à la montée en puissance des besoins en
informaticiens qui a détourné une partie des candidats potentiels vers des emplois nettement plus lucratifs) ; je me
souviens de discussions à la table de mes parents au sujet d’un ballon d’essai pour remédier à cette pénurie : il
était envisagé de faire appel à des ingénieurs en les payant plus que les profs (inutile de dire que
cette solution n’a pas été envisagée très longtemps...). Comme on manquait de profs (et l’objectif
d’amener 80% d’une classe d’âge au baccalauréat n’a pas arrangé les choses), il ne restait
plus beaucoup de solutions : soit on faisait une grande campagne de recrutements, soit on
diminuait les horaires de maths et, dans la foulée, les programmes. C’est, malheureusement,
la seconde solution qui a été choisie (il n’est pas impossible que la relation conflictuelle
qu’entretenait certain conseiller occulte, et futur ministre, avec les mathématiques (pré-modernes) ait joué
un rôle dans ce choix). Bien sûr, on ne pouvait pas diminuer les horaires de la matière noble
de la série scientifique sans justification (autre que de gros sous), et donc il a fallu
commencer par écorner le prestige des mathématiques (avec des arguments comme celui ci-dessus datant
de la grande époque de la guerre entre les maths pures et les maths appliquées, et
d’autres s’appuyant sur les erreurs des débuts de l’enseignement des maths modernes)
 [1].
L’offensive des statisticiens a parachevé le travail (je ne sais pas en quelle mesure
la présence d’un statisticien réfractaire à la géométrie
à la tête du Conseil National des programmes a influé sur le processus).

Cette offensive est assez ancienne. Je suis tombé sur un livre
de Arthur Engel (traduit de l’allemand) datant de 1975, dont l’avant-propos
commence par « Probabilités et Statistique » sont aujourd’hui des outils
indispensables dans toutes les sciences. Ce n’est plus qu’une question de
temps pour qu’elles entrent à l’école. leur introduction dans les classes,
à tous les niveaux, enrichira notablement le contenu mathématique,
le rendra plus intéressant et efficace
.
La prédiction de la dernière phrase ne s’est malheureusement pas
réalisée, c’est le moins que l’on puisse dire [2].
Les probabilistes de ma génération avec lesquels j’ai discuté du sujet m’ont dit avoir été atterrés quand ils ont appris que les statistiques allaient faire leur apparition
au lycée [3], et qu’ils l’étaient encore plus devant le résultat ; les profs de prépas semblent
un peu étonnés par le niveau des élèves qu’ils récupèrent. Les seuls qui
semblent être contents de ce qu’il s’est passé sont des statisticiens de la génération précédente
(et encore, même eux ne peuvent que constater qu’il y a un problème).
Il me semble qu’il serait urgent d’analyser les causes de la catastrophe actuelle,
et pas de déplorer que l’on ne charge pas encore un peu plus la barque
Ces réactions de rejet viennent, et ceci nous paraît très grave,
de se manifester dans les projets de programmes de mathématiques mis en consultation, en mai et juin 2013,
pour les secondes années des classes préparatoires scientifiques.
C’est non seulement la statistique qui y est victime d’ostracisme, car totalement absente,
mais aussi le calcul des probabilités qui y est très réduit dans ses ambitions...
Je suis assez d’accord avec les auteurs que
l’absence des lois normales et exponentielles est assez incompréhensible, mais ce ne sont pas les
seules omissions qui sont étranges : par exemple, le fait que l’algèbre linéaire
se fasse sur un sous-corps du corps des complexes est parfaitement incompréhensible
à une époque où les ingénieurs informaticiens créent autant de richesses
que ceux des industries classiques.

Un enseignement rigoureux de la statistique
me semble poser un vrai problème sans un bagage mathématique suffisant.
S’il s’agit juste de laisser entendre que fréquence et probabilité
sont en gros la même chose, cela ne pose pas de problème. Par contre,
si on veut quantifier la différence, ce que l’on est en droit
d’attendre d’un traitement mathématique, on se heurte à de vraies difficultés.
Je n’ai toujours pas réussi
à comprendre ce que signifie exactement
« la proportion $p$ est élément de l’intervalle $[f-1/\sqrt{n},f+1/\sqrt{n}]$ avec un taux de confiance de plus de 95%, où $f$ désigne la fréquence observée sur un échantillon de taille $n$ » (cet énoncé semble être le but de tout l’enseignement mathématique en section scientifique au lycée).
Je n’ai pas de mal à saisir ce que cela peut vouloir dire d’un point de vue intuitif, mais c’est la signification
mathématique qui m’échappe (un comble !) : il me semble
qu’en l’absence de renseignements concernant la distribution potentielle de $p$, cette phrase n’a aucun sens
 [4].
Du coup, j’ai des doutes sur ce qu’on peut vraiment faire en classe préparatoire
(surtout avec le niveau actuel de l’enseignement au lycée, en partie du fait
de la présence d’un gros module de statistique), mais on pourrait
se donner comme but de démontrer certains cas du théorème de la limite centrale
sur lequel beaucoup de choses reposent (cela reste du domaine des probabilités mais
peut préparer le terrain pour un enseignement en école d’ingénieurs).
Il ne faut pas oublier que l’esprit des classes préparatoires est assez particulier
et que les élèves sont déjà traumatisés par l’existence d’une infinité
de pièges potentiels dans des questions qui n’en comporteraient pas
dans un enseignement classique.

Notes

[1Il s’agit d’un procédé parfaitement classique que l’on peut voir à l’oeuvre
dans l’alignement actuel de la fiscalité du diesel sur celui de l’essence classique : pour y arriver,
il a fallu mettre en avant le caractère cancérigène du diesel (je ne suis pas en train
de nier que le diesel soit cancérigène, mais s’il est vraiment dangereux, la logique
voudrait qu’on l’interdise plutôt qu’on aligne son prix sur celui de l’essence).
Le même procédé a été utilisé pour augmenter d’un tiers la charge
d’enseignement des profs de fac : comme ils jouissaient plutôt d’une bonne réputation,
il a fallu commencer par la casser, et les universités en payent encore le prix à l’heure actuelle.

[2Le livre lui-même
fait honneur à son avant-propos qui continue par C’est un livre
de travail. En effet, quelle somme de travail représentent les exemples
cités et commentés ainsi que les exercices posés ! Un grand effort
a été fait pour rendre l’ouvrage intéressant et original.

[3Les maths modernes avaient fait une place non nulle aux probabilités
en terminale (avec la loi binomiale, la loi des grands nombres et l’inégalité de
Bienaymé-Tchebychev (nom tr\es impressionnant pour un lycéen...) mais pas
le théorème de Moivre Laplace), ce qui permettait d’enrichir la combinatoire
de la classe de première (qui est passée par pertes et profits depuis).
Il est assez ridicule que cet enseignement n’ait pas été renforcé dans
les classes préparatoires à l’époque.

[4J’en viens à penser que la disparition de la définition rigoureuse d’une limite
est destinée à ce que les élèves en viennent à trouver normal
que les notions qu’ont leur introduit soient entourées d’un flou artistique
et qu’ils ne se posent surtout pas de questions.

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Pour citer cet article :

Pierre Colmez — «Mathématiques post-modernes» — Images des Mathématiques, CNRS, 2013

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  • Mathématiques post-modernes, suite et fin ?

    le 13 octobre 2013 à 19:54, par Pierre Colmez

    Maintenant que j’ai
    compris ce que j’étais censé comprendre de l’énoncé
    de terminale S, je cherche à comprendre pourquoi ce n’est pas ce que
    je comprends...
    Je vois deux options pour expliquer
    cet état de fait :

    — Je reste prisonnier de ma vision du sondeur qui essaye d’interpréter le
    résultat de ses mesures et donc essaie de voir ce qu’il peut dire sur $p$
    en connaissant $f$.

    — Je rajoute inconsciemment des quantificateurs à l’énoncé (comme je
    le ferais à tout énoncé mathématique), et comme
    il a l’air de porter sur $f$, je le transforme en « quelque soit $f$... »,
    et j’aboutis à un énoncé faux.

    Dans le premier cas, ce n’est pas grave : je n’aurai jamais à enseigner cet
    énoncé, et je dispose d’un énoncé de remplacement qui me
    satisfait pleinement. Dans le second, c’est plus embètant car cela
    suggère que toute personne ayant
    une formation mathématique a une forte probabilité d’interpréter
    l’énoncé de manière incorrecte. Pour trancher, je ne vois pas
    d’autre solution que de faire un sondage en demandant à des mathématiciens
    ou des professeurs de maths comment ils comprennent l’énoncé.

    La première fois que je l’ai lu,
    je n’ai pas tiqué car il me semblait en accord avec ce que j’avais retenu
    du théorème de la limite centrale. Là où les choses se sont gâtées
    c’est quand je me suis mis en tête de l’utiliser pour voir comment
    $p$ se concentre autour de $f$, dans le but de fournir un exemple permettant
    aux élève d’appréhender ce phénomène.
    J’ai pris l’exemple suivant : on considère
    des urnes avec 10 boules noires ou blanches, et
    on prend toutes les combinaisons possibles pour chacune des boules, ce qui
    donne 1024 urnes contenant chacune 10 boules. Maintenant, on choisit
    une urne au hasard, on prend 2 boules dans cette urne, et on constate
    qu’elles sont blanches. Cela implique-t-il que parmi les 8 boules
    restantes il y a, en moyenne, plus de blanches que de noires comme
    l’énoncé semblait le suggérer ? J’ai fait le calcul et, à ma grande
    surprise, j’ai constaté que « non » (par contre, si on ne prend
    que 11 urnes contenant respectivement $0,1,2,...,10$ boules blanches, la
    réponse devient « oui »). J’ai trouvé un argument
    expliquant ce phénomène, et ce même argument
    prouvait aussi que si je remplace $10$ par $1\,000\,000$ dans
    le processus ci-dessus, que je tire $1000$ boules au lieu de $2$,
    et que je trouve $300$ noires et $700$ blanches, eh bien, parmi les
    999\,000 boules restantes dans l’urne, il y aura, en moyenne, autant
    de blanches que de noires contrairement à ce que l’énoncé me
    semblait suggérer (cela m’a fait écrire la note [3] du
    billet).
    Je me suis rendu compte plus tard que la probabilité de tirer
    $300$ boules noires et $700$ blanches était epsilonesque, mais je n’ai
    finalement compris ce que l’énoncé essayait de dire que grâce aux messages
    de Vincent Beffara au début de la discussion.

    Enfin, en ce qui concerne Bourbaki, il me semble qu’il a écrit un
    livre d’intégration et pas un livre de théorie de la mesure.
    Superficiellement, cela semble être la même chose, mais les points
    de vue sont assez éloignés, et il n’est donc pas très étonnant
    que les probabilistes ne soient pas contents s’ils croient
    que c’est un livre de théorie de la mesure. A contrario,
    le point de vue de Bourbaki a ouvert la voie aux distributions
    et à l’intégration $p$-adique par exemple, deux choses qui n’ont
    rien à voir avec la théorie de la mesure.

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