Mathématiques savonneuses

Piste bleue 25 février 2011  - Ecrit par  Paul Laurain Voir les commentaires (6)

Il est question ici des surfaces minimisant leur aire sous contrainte, problème plus connu sous le nom de problème des « bulles de savon ». Après avoir étudié les propriétés de minimisation des films de savon dans une première partie, on cherchera à calculer le réseau le plus court reliant un ensemble de points donnés, problème connu sous le nom de problème de Steiner.

Les films de savon

La tension superficielle

Chacun d’entre nous a déjà fait l’expérience qui consiste à remplir un verre d’eau légèrement au dessus du verre sans que celui-ci déborde. Mais qu’est ce qui rend cela possible ?

Pour comprendre cela, il suffit de voir l’eau comme un ensemble de molécules qui exercent des forces d’attraction entres elles. Au centre du liquide une molécule est attirée dans toutes les directions, par contre au bord du liquide une molécule ressent une attraction plus forte venant de l’intérieur que de l’extérieur du liquide. Et ainsi les molécules au bord du liquide sont retenues par celles de l’intérieur et agissent comme une fine peau. Cette propriété qu’a un liquide de maintenir sa surface tendue est la tension superficielle.

Forces s’exerçant sur une molécule d’eau à l’intérieur et au bord du liquide.
Illustration de l’effet de peau.

Solutions savonneuses et films de savon

Une solution savonneuse est constituée de molécules d’eau et de molécules de savon. La molécule d’eau est formée de deux atomes d’hydrogène ($H^+$) et d’un oxygène ($O^{2-}$) ce qui donne la formule $H_2 O$. La structure d’une molécule de savon est plus compliquée. Elle est souvent constituée d’une chaîne hydrocarbonée (c’est-à-dire une suite d’atomes de carbone et d’hydrogène) qui se termine par un “acide gras” et surtout elle devient ionique dans l’eau, c’est-à-dire qu’elle se sépare en deux molécules dont la charge électrique n’est plus neutre. Par exemple le sel d’acide stéarique, $C_{17}H_{35}COO^-Na^+$, se sépare dans l’eau en $C_{17}H_{35}COO^-$ (chargé négativement) et $Na^+$ (chargé positivement). Maintenant ces deux molécules sont libres dans l’eau et interagissent avec les autres molécules de manière classique : les charges de signes opposés s’attirent et des charges de même signe se repoussent.

La géométrie de $C_{17}H_{35}COO^-$ est assez particulière, puisque la tête $COO^-$ (chargée négativement) est attirée par les deux hydrogènes de la molécule d’eau (On pourrait penser que la tête peut aussi être attirée par les ions $Na^+$. C’est d’ailleurs le cas, mais vu qu’il y a beaucoup plus de molécules d’eau que d’ions $Na^+$, on ne considère que l’interaction avec les atomes d’hydrogène), on dit qu’elle est hydrophile. Alors que la queue est repoussée car elle comporte beaucoup d’atomes d’hydrogène, on dit qu’elle est hydrophobe. Et donc au niveau de la surface, les chaînes hydrocarbonées ont tendance à pointer vers l’extérieur du liquide.

Structure d’un film de savon

C’est cette structure qui permet à l’eau savonneuse de former un film qui borde un anneau. Si vous trempez un anneau dans de l’eau pure et que vous le ressortez aussi prudemment que possible aucun film ne se forme. Par contre si vous ajoutez un peu de liquide vaisselle à l’eau et que vous renouvelez l’expérience alors, pourvu que l’anneau ne soit pas trop grand, vous observerez qu’un film de savon se forme à l’intérieur de votre anneau.

Film de savon

Forme des films de savon

Mais quelle est la forme du film ? Dans l’image précédente, sans trop de surprise, c’est un disque qui vient border le cercle. Mais ce cas est bien trop symétrique pour pouvoir prévoir ce qui va se passer pour un contour plus général.

Film de savon bordé par un contour tordu

Pour se faire une idée plus précise de ce qui se passe, revenons aux raisons qui font que le film reste « tendu » : c’est la tension de surface, c’est-à-dire l’interaction entre les molécules au bord du film et celles à l’intérieur. Or le fait de maintenir la structure de notre film ainsi demande une certaine énergie [1] au système. Cette énergie est proportionnelle au nombre des molécules d’acide gras qui est nécessaire pour former la “peau” du film. Or tout système physique tend à être dans une position qui lui demande le moins d’énergie. On peut illustrer ce fait en considérant un ballon sur une surface vallonnée.

Ballon sur une région vallonnée

L’énergie de notre ballon est proportionnelle à la hauteur du ballon car plus le ballon est haut, plus il est susceptible de rouler vers le bas du vallon. D’ailleurs on peut observer que si on le lâche dans la pente il va immédiatement rouler vers le bas de la pente puis avec son élan remonter un morceau de pente pour le redescendre, remonter une partie de ce qu’il a descendu à l’aller, etc. Jusqu’au moment où il s’immobilisera au fond d’une vallée, là où son énergie est minimale, du moins localement, car il existe sur la gauche un creux encore plus bas mais il est inaccessible pour le ballon puisqu’il faudrait franchir le sommet qui est plus haut que son point de départ. Toutefois notre creux est un minimum local, c’est-à-dire que tout point à proximité est plus haut. La position est alors stable puisque si on déplace le ballon un petit peu il reviendra automatiquement à cette position. Reste la question de ce qui se passe si on place le ballon “pile” au sommet de la bosse. Dans ce cas il s’agit bien d’un équilibre mais il est instable, puisque toute perturbation fait glisser le ballon d’un côté ou de l’autre.

Revenons à notre film de savon qui, comme le ballon, cherche à minimiser son énergie. Donc pour savoir quelle sera la forme de notre film de savon il faut trouver quel est l’équivalent du “creux”. Or son énergie, qui est sa capacité à changer d’état, est proportionnelle au nombre d’acides gras qui forment la “peau”. On pourra penser à une chaîne dont la capacité à bouger augmente avec le nombre de mailles dont elle est constituée. Mais ce nombre est simplement proportionnel à la surface de notre film, donc notre film va tendre à minimiser son aire pour minimiser son énergie. La forme du film de savon est celle qui minimise sa surface. Ici encore il s’agit d’un minimum local, c’est-à-dire qu’une petite perturbation du film de savon augmente nécessairement sa surface comme le ballon qui dans son creux ne peut que monter s’il bouge un peu. Par contre il ne s’agit pas nécessairement de la plus petite surface comme notre ballon qui n’est pas nécessairement dans le creux le plus bas.

Voici quelques exemples :

Un fil tordu

Un autre fil tordu

La bulle de savon

Dans le dernier exemple, la contrainte n’est plus donnée par le fil de fer, mais par l’air emprisonné dans la bulle. On en déduit [2] que la plus petite surface qui enveloppe un volume fixé est donnée par la sphère. En termes mathématiques notre problème revient à trouver pour un contour donné quelles sont les surfaces qui minimisent localement leur aire et ayant pour bord notre contour. Il se trouve que, malgré son énoncé relativement simple, ce problème reste largement ouvert. On sait depuis les années 30, grâce à Douglas [3] et Radó [4], que pour tout contour assez simple il existe un minimum global, c’est-à-dire une surface minimisante venant s’accrocher sur ce contour. Par contre il faut attendre les travaux de Meeks [5] et Yau [6] au début des années 80 pour savoir que cette surface minimisante n’est pas trop compliquée, par exemple qu’elle ne se coupe pas si le contour n’est pas trop compliqué lui-même. Par contre la question du nombre de minimums locaux est encore largement ouverte et fait intervenir des mathématiques assez pointues comme la théorie de Morse en dimension infinie (un gros mot pour dire que ça fait appel à une théorie assez générale et dont la complexité dépasse largement la simplicité de l’énoncé de notre problème). Cette dernière question n’est pas un problème purement mathématique, car n’oublions pas notre ballon qui trouve son équilibre dans des minimum locaux, il est en est de même de notre film de savon, les minima locaux (non globaux) sont physiquement possibles.

Un petit problème

Pour conclure ce paragraphe je propose un petit problème. Ici on considère un contour formé de deux cercles parallèles assez proches. Si on plonge notre contour dans l’eau savonneuse et qu’on le ressort délicatement, on observe la caténoïde. Attention, malgré ce qu’on pourrait imaginer, ce n’est pas le cylindre qui minimise l’aire entre les deux cercles mais bien cette surface légèrement incurvée. Il s’agit d’une surface de révolution, ce qui n’est pas très étonnant vu la symétrie du contour [7]. La génératrice (c’est-à-dire la courbe qu’il faut faire tourner autour d’une droite pour engendrer notre surface) de cette surface de révolution est la chaînette qui, elle aussi, trouve son origine dans un problème de minimisation sous contrainte.

La caténoïde

Mais revenons à notre caténoïde. Que se passe-t-il si on écarte progressivement les deux anneaux. Au départ la surface s’allonge et inéluctablement le film éclate pour ne plus former que deux disques. Pourquoi ? Simplement car la surface des deux disques devient plus petite que celle de la caténoïde. Et donc le problème est le suivant : Déterminer en fonction du rayon $R$ de nos cercles quel est l’écartement maximal de nos deux cercles que la caténoïde peut tolérer avant d’éclater ? Première solution : faire l’expérience. Deuxième solution : faire un peu de mathématiques, c’est-à-dire calculer l’aire de la caténoïde (On trouvera ici les formules nécessaires) en fonction du rayon et de l’écartement et le comparer avec deux fois l’aire du disque. La seule notion requise ici est celle d’intégrale afin de faire le calcul de l’aire de la caténoïde.

Solution :

L’aire de la caténoide de hauteur $h$ est donné par $4\,\pi\, \rm sh\left(\frac{h}{2}\right)$, donc la caténoïde éclate lorsque $h=2\, \rm sh^{-1}\left(\frac{R^2}{2}\right)=2\, Ln\left(\frac{R^2}{2} +\sqrt{\frac{R^4}{4}+1}\right)$. Ici $sh$ est une fonction hyperbolique et $sh^{-1}$ sa réciproque. Même si ceci peut paraître calculatoire pour le profane, on pourra se souvenir que $h$ est une fonction logarithmique de $R$ et donc qu’il faut des cercles de très grand rayon si l’on veut observer une grande caténoïde, comme sur l’image ci-dessus.

Il s’agissait d’une courte introduction au problème des « bulles de savon » que le lecteur chevronné pourra poursuivre dans [Isen-78] pour un point vue physique et [Opr-00] pour un point de vue mathématique.

La route la plus courte ou Problème de Steiner [8]

La problème auquel nous allons nous intéresser maintenant est le suivant :

Quel est le chemin le plus court reliant un ensemble de points donné ?

D’un point de vue pratique on peut imaginer le problème suivant : une compagnie de télécommunication souhaite créer un réseau reliant un certain nombre de villes. Elle cherche alors à minimiser le coût d’un tel réseau, en l’occurrence la longueur totale des câbles qu’elle devra utiliser pour relier toutes ces villes entre elles.

Il est bien connu que le chemin le plus court entre deux points est la ligne droite. Par contre quel est le chemin le plus court reliant trois points du plan ? Ou encore quelle est la route la plus courte reliant trois villes ?

Première réponse : que dit le savon ?

Ici nous allons utiliser la propriété qu’a un film de savon de minimiser son aire. On prend deux plaques de plexiglas que l’on lie par trois boulons tout en faisant attention qu’elles ne soient pas trop proches l’une de l’autre (voir les figures ci-dessous). Lorsque l’on plonge cette construction dans un seau d’eau savonneuse et que l’on l’en ressort délicatement, un film de savon vient joindre nos trois boulons en essayant de minimiser son aire. Mais la largeur entre les plaques étant constante, le problème de minimisation de la surface devient équivalent à celui de la minimisation de la longueur de la trace de notre film sur le plexiglas. Voici alors la réponse :

Le matériel.
Deux plaques de plexiglas reliées par 3 boulons.
La solution.
La solution.

On peut observer deux choses. La première est qu’au point d’intersection les trois droites se rencontrent avec des angles égaux.

D’autre part si on choisit une configuration de points de sorte que l’angle formé par deux côtés du triangle soit supérieur à $120^\circ$, alors la solution est simplement composée par les deux côtés formant cet angle.


Deuxième solution : que disent les Mathématiques ?

Mathématiquement, le problème est le suivant : étant donné trois points $A$, $B$ et $C$, trouver un point $S$ qui minimise la quantité suivante :
\[L(S)=AS + BS + CS .\]
Ici encore plusieurs approches sont possibles. La plus naturelle pour un amateur de calcul différentiel serait de chercher un extremum de la fonction $L$ en la différenciant. Mais nous allons présenter une méthode purement géométrique [9] pour montrer que le point $S$ est soit un sommet de notre triangle, soit les trois segments joignant S aux sommets du triangle forment entre eux des angles de $120^\circ$.

Preuve :

Supposons qu’aucun angle de $ABC$ n’est supérieur à $120^\circ$. Soit $P$ un point à l’intérieur du triangle.

On considère alors l’image de $APB$ par la rotation de centre $A$ et d’angle $60^\circ$. On note $AP'C'$ l’image de $APB$ par cette rotation.

Le triangle $PAP'$ est équilatéral ; en effet, par construction il est isocèle et possède un angle de $60^\circ$. Donc $PP'=AP$ et, toujours par construction, $C'P'=BP$. On a donc
\[ AP+BP+CP= PP' + P'C' + CP.\]

Donc minimiser $ AP+BP+CP$ revient à minimiser $PP' + P'C' + CP$. Or cette dernière quantité est minimale si $C'$, $P'$, $P$ et $C$ sont alignés. En effet $C$ et $C'$ (sommet « du » triangle équilatéral de côté AB) sont indépendants du choix de P. On doit donc choisir $P$ de sorte que la longueur de la ligne brisée $CPP'C$ soit minimale. Or le chemin le plus court entre $C$ et $C'$ est la ligne droite, donc il faut que $P$ appartienne à la droite $CC'$. De façon analogue on construit les points $A'$, $B'$. Le point de Steiner $S$ est alors le point de concours des droites $(AA')$, $(BB')$ et $(CC')$.

On peut vérifier que $SA$, $SB$ et $SC$ forment bien un angle de $120^\circ$ avec les sommets du triangle $ABC$. Par exemple, l’angle $ASC'$ vaut par construction $60^\circ$, mais en réalisant la même construction autour de $B$ on voit qu’on a également l’angle $BSC'$ qui vaut $60^\circ$. Finalement l’angle $ASB$ vaut bien $120^\circ$. Enfin il faut tout de même vérifier que cette construction ne fonctionne pas si l’un des angles du triangle est supérieur à $120$ degré, ce que je laisse au lecteur...C.Q.F.D.

Ce problème étant résolu pour trois points, une question nous vient immédiatement à l’esprit. Quid du cas général ? C’est-à-dire que se passe-t-il si l’on considère non pas trois points mais un nombre arbitraire de points ?

Les choses se corsent. Pour quatre points, il existe encore une “formule”. Dans un cas standard (c’est-à-dire lorsque les quatre points forment un quadrilatère dont les angles aux sommets ne sont pas trop grands), il se crée non pas un point, mais deux points intermédiaires comme le montre la figure suivante.

Solution pour 4 points.
Solution pour 4 points.

Au delà de quatre points, il n’existe plus de “formule” pour calculer effectivement la solution optimale. Par contre, un algorithme (dû à Melzak) permettant de trouver le réseau optimal en un nombre fini d’étapes a été inventé dans les années 60. Ce qui n’est pas du tout évident puisqu’il existe a priori une infinité de configurations possibles pour les points de Steiner. L’idée de Melzak est somme toute assez simple même si sa réalisation s’avère très technique. Appelons point de Steiner un point que l’on doit rajouter pour obtenir le réseau optimal, comme le point au à l’intérieur du triangle ou les deux points dans la figure ci-dessus. L’idée de Melzak repose sur les deux faits suivants :

  • Un point de base est relié à au plus trois autres points
  • Un point de Steiner est relié à trois autres points et les angles formés par les arêtes sont tous égaux à $120^\circ$.

Á l’aide de ces deux remarques Melzak démontre qu’il existe qu’un nombre fini de points de Steiner possibles. Pour démontrer cela il utilise des constructions géométriques du type de celle effectuée pour construire le point de Steiner d’un triangle. Cette preuve étant constructive, elle fournit en plus un algorithme pour construire ces points. Il existe alors un nombre fini de chemins possibles, on les calcule tous et on prend le plus court. Le coût de cet algorithme est pharaonique puisque le nombre d’opérations à réaliser pour calculer le réseau optimal reliant $n$ points est proportionnel à $n!=n\times (n-1)\times \dots \times 2\times 1$. Dans les vingt dernières années, de gros progrès ont été faits et on dispose de l’algorithme calculant la solution exacte pour $n<10000$ en un temps raisonnable.

Pour finir on présente une application au réseau minimal reliant les grandes villes d’Amérique du Nord, l’une calculée avec du savon et l’autre à l’aide d’un algorithme exact. On observera que les solutions sont différentes puisque le savon donne simplement un minimum local.

Réseau optimal reliant des grandes villes d’Amérique du nord

Enfin voici une petite application [10] développée avec Aurélien Pardon et Marc Lasson, donnant une solution approchée au problème de Steiner. L’algorithme utilisé ici simule ce que fait le savon et donc trouve un minimum local. Par contre, il est beaucoup plus rapide que l’algorithme exact puisque, sur un ordinateur personnel, il fonctionne avec plus d’un 1 million de points en quelques minutes.

[Isen-78]
Isenberg, Cyril,
The science of soap films and soap bubbles
, Tieto Ltd. , 1978

[Opr-00]
Oprea, John, The mathematics of soap films : explorations with Maple, American Mathematical Society , 2000

Post-scriptum :

Merci à Clémence, Joël Merker et François Gramain pour leur travail de relecture, mon texte original s’en est trouvé grandement amélioré.

Notes

[1L’énergie d’un système physique est la capacité qu’a ce système à modifier son état.

[2empiriquement, mathématiquement c’est une autre histoire, ce problème est connu sous le nom de problème isopérimétrique pour lequel il fallut attendre le 19ième siècle pour une solution rigoureuse

[3Mathématicien américain 1897-1965, il reçu l’une des deux première médaille Fields en 1936 pour la résolution de ce problème connu sous le nom de problème de Plateau

[4Mathématicien Hongrois 1895-1965

[5Mathématiciens américain (1947-...)

[6Mathématicien sino-américain (1949-...), médaille Fields en 1982

[7En physique on a l’habitude de dire que « la symétrie des causes doit se retrouver dans la symétrie des effets ». En math, on se plaît à le penser aussi, mais rien d’évident à cela, en tout cas pas il n’existe pas de théorème général englobant la maxime physicienne mais des théorèmes examinant chaque cas particulier.

[8Du nom d’un mathématicien suisse, Jakob Steiner (1796-1863).

[9La preuve présentée est due à un mathématicien hongrois, Tibor Galai (1912-1992)

[10Cliquer sur l’écran pour définir les points, puis sur « kruskal », puis sur « steiner ». Pour que les caculs se fassent rapidement il vaut mieux utiliser Chrome comme navigateur. L’application ne marche pas avec Internet Explorer.

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Pour citer cet article :

Paul Laurain — «Mathématiques savonneuses» — Images des Mathématiques, CNRS, 2011

Commentaire sur l'article

  • Mathématiques savonneuses

    le 25 février 2011 à 08:48, par pecheur2savon

    Merci beaucoup pour cet article très intéressant,

    • pour le problème de Steiner avec trois points, la solution est ce que je connaissais sous le nom de « point de Fermat », et la démonstration que je connais utilise le fait qu’une normale à une ellipse est bissectrice de l’angle au point de contact formé par les foyers, ici remplacé par « la plus courte ligne brisée », je crois que c’est bien le même argument.
    • et j’ai une question, une caténoïde est-elle une hyperboloïde de révolution à une nappe ? Visiblement non, c’est plutôt $x^2+y^2-(\sh z)^2=1$.

    Et merci encore

    Répondre à ce message
  • Mathématiques savonneuses

    le 25 février 2011 à 08:49, par pecheur2savon

    Il manque la formule dans mon message
    x^2+y^2-(sh z)^2=1

    Répondre à ce message
  • Plus sur les films de savon ?

    le 25 février 2011 à 09:30, par Patrick Popescu-Pampu

    J’ai bien aimé votre article, merci !

    J’ai quelques questions sur les films de savon. Vous écrivez que « c’est cette structure qui permet à l’eau savonneuse de former un film qui borde un anneau ». Doit-on comprendre que le film que l’on voit est formé par un sandwich de trois couches, les deux externes étant composées des chaînes hydrocarbonées et la couche interne d’eau ? L’explication de l’adhérence au cadre métallique est-elle de même nature que celle de la formation du film ?

    Par ailleurs, les jeux d’irisation visibles dans la première photo de film de savon sont magnifiques. Auriez-vous une belle histoire de physique à raconter à leur sujet ? Par exemple, pourquoi des tourbillons surgissent-ils soudain à la moitié du film ?

    Répondre à ce message
    • Plus sur les films de savon ?

      le 25 février 2011 à 11:13, par Paul Laurain

      Cher Patrick,
      Je ne suis pas un très bon physicien et peut-être que quelqu’un peut proposer une meilleure explication. Pour moi, la présence de molécules de savon crée en effet cette structure en sandwich puisque les molécules de savon sont « poussées » vers l’extérieur. Ceci permet à l’eau savonneuse de former un film de savon grâce à cette structure qui lui offre une certaine cohésion interne.
      En ce qui concerne les phénomènes d’irisation, la raison principale est que l’épaisseur du film est de l’ordre de la longueur d’onde de la lumière. le film étant semi-réfléchissant cela donne lieu à des phénomènes d’interférences.
      Par contre pour les tourbillons je n’ai pas de bonne explication.

      Répondre à ce message
  • Mathématiques savonneuses

    le 25 février 2011 à 10:37, par Paul Laurain

    Cher pecheur2savon,
    En effet même si l’hyperboloïde et la caténoïde sont semblables, elles sont tout de même assez différentes comme vous l’avez remarqué. En particulier l’hyperboloïde est asymptotique à un cône alors que la caténoïde ne l’est pas puisque qu’elle a une croissance logarithmique.

    Répondre à ce message
  • P=NP

    le 25 février 2011 à 15:47, par subshift

    Très bel article, merci !

    À propos du problème de Steiner, certains ont affirmé que P=NP en raisonnant ainsi :
    - le problème de Steiner est NP-dur ;
    - les bulles de savon trouvent une solution en temps polynomial ;
    - les bulles de savon sont un objet de la physique classique, qui peuvent donc être simulées en temps polynomial par une machine de Turing.

    (Voir l’article suivant : S. Bringsjord, J. Taylor, P=NP.)

    C’est le deuxième point qui cloche : la nature tombe elle aussi sur des optimums locaux ! C’est vérifié expérimentalement. Pour plus de détails, voir : S. Aaronson, NP-complete Problems and Physical Reality.

    Répondre à ce message

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