Mathémusique : Introduction au théorème de l’hexacorde

Piste bleue Le 29 octobre 2019  - Ecrit par  Corentin Bayette Voir les commentaires

Le théorème de l’hexacorde est un théorème issu d’un problème musical et qui peut se démontrer de multiples façons. Nous proposons dans cet article une description de sa découverte et d’une approche mathématique de la musique permettant de comprendre l’une de ses démonstrations parmi les plus récentes et intuitives. Après un bref rappel historique, nous proposons de définir formellement les notes et les intervalles musicaux pour ensuite pouvoir énoncer et démontrer le théorème de l’hexacorde. Quelques notions mathématiques plus avancées sont également données dans les dépliants et en fin d’article pour ceux qui souhaitent aller un peu plus loin.

Un petit peu d’histoire

Dans une lettre écrite en 1712 et destinée au mathématicien Christian Goldbach, Leibniz écrit :

La musique est un exercice caché d’arithmétique, l’esprit n’ayant pas conscience qu’il est en train de compter.

Aujourd’hui enseignée dans les filières plutôt littéraires, la musique semble assez éloignée des mathématiques : mais cela n’a pas toujours été le cas.
En 1534, Rabelais écrit dans Pantagruel : « J’entends et veux que tu apprennes les langues parfaitement [...] Des arts libéraux, géométrie, arithmétique et musique, je t’en donnai quelque goût quand tu étais encore petit [...], poursuis le reste, et d’astronomie saches-en tous les canons. [...] Du droit civil, je veux que tu saches par cœur les beaux textes et me les confères avec philosophie. » Bien avant lui, Pythagore considérait déjà la musique comme une science mathématique. Le concept antique de Quadrivium regroupe en effet les quatre sciences mathématiques que sont l’arithmétique, la géométrie, l’astronomie et la musique. Encore enseigné au Moyen-Age (aux alentours de l’an mille), le Quadrivium était à la base de l’enseignement médiéval. On lui ajouta le concept de Trivium regroupant la grammaire, la rhétorique et la dialectique pour former les sept arts libéraux.

Au cours des années, ce lien ancien entre la musique et les mathématiques ne s’est pas restreint à la scolarité. Pour écrire Christ lag in Todesbanden (1707), Jean-Sébastien Bach a ainsi utilisé des notions de symétrie puisque la cantate est divisée en sept strophes : chœur – duo – solo – chœur – solo – duo – chœur. Au XXe siècle, plusieurs compositeurs ont utilisé le nombre d’or et d’autres constructions formelles en composition. Par exemple, Iannis Xenakis (également ingénieur) a utilisé le nombre d’or pour composer Metastasis en 1955 ou, quelques années plus tard, la théorie des groupes pour composer des pièces telles Akrata ou Nomos Alpha.

En outre, des théoriciens ont tenté d’écrire et d’étudier la musique à l’aide de notions et formules mathématiques. Parmi eux, citons notamment, Milton Babbitt (1916-2011), Allen Forte (1926-2014), ou encore David Lewin (1933-2003). Venue notamment des États-Unis au milieu du XXe siècle, cette étude rigoureuse de la musique par les mathématiques, appelée Set Theory, est une proposition de formalisation de la musique grâce aux mathématiques.

Le théorème de l’hexacorde, quant à lui, était (déjà) connu des musiciens au début des années 1900. Il ne fut rigoureusement énoncé par Milton Babbitt qu’en 1955 puis démontré par David Lewin dans les années 80.

Écrire de la musique avec des maths

Cette première partie permet d’introduire les différentes définitions mathématiques d’éléments musicaux. C’est ce qu’on appelle la Set Theory, concept introduit par des musicologues américains pendant le XXe siècle, il permet la formalisation mathématique de la musique. Les termes utilisés dans la suite sont donc issus soit de la musique soit des mathématiques, il faut néanmoins les distinguer : une translation (maths) sera appelée une transposition (musique). Cette partie est basée sur un article [Andreatta] et sur deux ouvrages de référence [Lewin] [Rahn] dans ce domaine.

Les notes

La première étape est de définir les notes musicales de la gamme chromatique do, do$\sharp$, ré, ré$\sharp$, mi, fa, fa$\sharp$, sol, sol$\sharp$, la, la$\sharp$, si de manière mathématique. Sans considération de tessiture (aigu, médium ou grave), nous choisissons de commencer par représenter do par 0, puis do$\sharp$ par 1, etc, jusqu’à si par 11, puis de recommencer à 0. Autrement dit, n’importe quel do est représenté par 0 et n’importe quel sol est représenté par 7. Nous avons donc :

Représentation numérique de la gamme

Approche plus formelle

Cette approche peut-être rendue mathématiquement plus rigoureuse grâce à deux notions : l’équivalence enharmonique qui permet de considérer qu’il n’y a aucune différence entre une note augmentée d’un dièse et celle du dessus baissée d’un bémol (comme les touches noires d’un piano) et l’équivalence à l’octave grâce à laquelle la différence entre aigu et grave n’est pas retenue. Mathématiquement, cela justifie d’effectuer tous les calculs dans le groupe cyclique $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$.

Pour faciliter l’utilisation de la gamme dans les définitions et démonstrations à venir, nous la représenterons dans la suite sur un cadran d’horloge. On commence par placer le do sur 12 (à voir ici comme un 0), puis le do$\sharp$ sur le 1, et ainsi de suite jusqu’au si que l’on place sur le 11. Chaque note est alors séparée d’un demi-ton représenté par chaque arc de cercle entre deux notes. On obtient l’horloge suivante.

Horloge représentant la gamme

Pour écrire un ensemble de notes (un arpège ou un accord par exemple), on utilise la notation en chiffre que l’on écrit entre accolades. Par exemple l’accord do-mi-sol s’écrit $\{0,4,7\}$, ou encore ré-fa-la s’écrit $\{2,5,9\}$. L’ordre des notes n’importe pas : l’accord do-mi-sol s’écrit indifféremment $\{0,4,7\}$ ou $\{4,7,0\}$ ou encore $\{7,0,4\}$, par commodité les notes sont souvent écrites dans l’ordre dans lequel elles apparaissent dans la gamme et donc les chiffres les représentant dans l’ordre croissant. Un hexacorde est un ensemble (-corde) composé de 6 (hexa-) notes tirées de la gamme chromatique. Les ensembles do-re$\sharp$-mi-fa-sol-la$\sharp$ ou do$\sharp$-ré-fa$\sharp$-sol$\sharp$-la-si ou do-ré-mi-fa-sol$\sharp$-si sont tous des hexacordes ; ils sont représentés sur les horloges ci-dessous. Comme pour des accords plus simples, l’ordre des notes n’a pas d’importance. On dit qu’un hexacorde est le complémentaire de l’autre si aucune note du premier n’est dans le second (et inversement). Comme 6+6=12, il y a unicité du complémentaire et à eux deux, ils forment toute la gamme chromatique. Par exemple, l’hexacorde 1 do-re$\sharp$-mi-fa-sol-la$\sharp$ est le complémentaire de l’hexacorde 2 do$\sharp$-ré-fa$\sharp$-sol$\sharp$-la-si comme le montre les figures suivantes.

Représentation des hexacordes 1 (gauche), 2 (milieu) et 3 (droite)

La figure du milieu illustre la notion de complémentarité : l’hexacorde 2 avec son complémentaire (hexacorde 1) en pointillés.

Les intervalles

La deuxième étape a pour but de représenter les intervalles musicaux mathématiquement. L’idée est assez simple : il suffit de représenter un intervalle par le nombre de demi-tons qu’il contient. Il convient de rappeler ici que l’écriture des notes se faisant de 0 à 11 sans considération de la hauteur, il suffit de représenter les intervalles comprenant de 0 à 11 demi-ton(s). Le tableau suivant résume ces résultats :

Composition Nom Représentation numérique
0 demi-ton unisson 0
1 demi-ton seconde mineure 1
2 demi-tons = 1 ton seconde majeure 2
3 demi-tons tierce mineure 3
4 demi-tons = 2 tons tierce majeure 4
5 demi-tons quarte juste 5
6 demi-tons = 3 tons quinte diminuée 6
7 demi-tons quinte juste 7
8 demi-tons = 4 tons sixte mineure 8
9 demi-tons sixte majeure 9
10 demi-tons = 5 tons septième mineure 10
11 demi-tons septième majeure 11
12 demi-tons = 6 tons octave 0

En prenant deux notes représentées mathématiquement, l’intervalle est « tout simplement » la différence des deux. Par exemple, l’intervalle entre mi (écrit 4) et la (écrit 9) est $9-4=5$.

« Tout simplement » ?

Cette différence est plus précisément une différence modulo 12. La représentation des notes de 0 à 11 (qui est donc déjà modulo 12) permet en fait de voir un intervalle comme une « simple » différence, comme l’explique ce qui suit.

Comme on l’a vu précédemment, la représentation mathématique des notes ne prend pas en compte la tessiture de celle-ci. Ainsi, l’intervalle représenté ci-dessous entre un mi (5) médium et un sol (8) aigu correspond « mathématiquement » à un intervalle de 3 demi-tons, même si musicalement il est formé de 15 demi-tons.

Puisque chaque arc de cercle entre deux notes consécutives écrites sur l’horloge représente un demi-ton, il suffit de calculer le nombre d’arcs de cercle entre les deux notes souhaitées pour connaître l’intervalle les séparant. Pour reprendre le même exemple, regardons l’intervalle entre mi et la grâce à la figure suivante.

Représentation et taille de l’intervalle

On remarque tout de suite grâce à l’horloge que deux calculs semblent possibles pour obtenir l’intervalle : soit dans le sens horaire (5 demi-tons), soit dans le sens anti-horaire (7 demi-tons). Dans la suite on prendra toujours le sens horaire ; l’intervalle de 7 demi-tons étant l’intervalle entre la et mi.

Pourquoi ?

On retrouve ici les conséquences des calculs dans $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$. En effet : 7 mod 12 = - 5 mod 12 et 5 mod 12 = - 7 mod 12

Il est alors relativement simple, en utilisant l’horloge, de compter le nombre d’apparitions de chaque intervalle dans un ensemble de notes donné. Reprenons l’hexacorde 1 et énumérons le nombre d’apparitions de chaque intervalle en suivant l’ordre du tableau.

Représentation de l’hexacorde 1

Les horloges suivantes représentent l’hexacorde 1 et l’apparition des différents intervalles.

  • Pour les unissons (0 demi-ton) : il y a 6 notes, donc il y a 6 unissons.
  • Pour les secondes mineures (1 demi-ton) : 2
    • Entre ré$\sharp$ et mi
    • Entre mi et fa

      Secondes mineures

  • Pour les secondes majeures (2 demi-tons) : 3
    • Entre ré$\sharp$ et fa
    • Entre fa et sol
    • Entre la$\sharp$ et do

      Secondes majeures

  • Pour les tierces mineures (3 demi-tons) : 3
    • Entre do et ré$\sharp$
    • Entre mi et sol
    • Entre sol et la$\sharp$

      Tierces mineures

  • Pour les tierces majeures (4 demi-tons) : 2
    • Entre do et mi
    • Entre ré$\sharp$ et sol

      Tierces majeures

  • Pour les quartes justes (5 demi-tons) : 4
    • Entre do et fa
    • Entre fa et la$\sharp$
    • Entre sol et do
    • Entre la$\sharp$ et ré$\sharp$

      Quartes justes

  • Pour les quintes diminuées (6 demi-tons) : 2. Il faut en effet compter l’intervalle entre mi et la$\sharp$ PUIS celui entre la$\sharp$ et mi.

    Quintes diminuées

On note ces résultats dans cet ordre entre crochets, on obtient alors le vecteur de taille 7 suivant $\big[6,2,3,3,2,4,2\big]$ que l’on appelle le contenu intervallique.
Pour des raisons de symétrie, il n’est pas nécessaire d’écrire les 13 termes correspondant aux 13 intervalles du tableau précédemment introduit.

Contenu intervallique avec 13 termes

Voici la liste des intervalles formant le contenu intervallique avec 13 termes. Nous redonnons la représentation de l’hexacorde 1 pour pouvoir « compter » les demi-tons.

Représentation de l’hexacorde 1

  • Pour les quintes justes (7 demi-tons) : 4
    • Entre do et sol
    • Entre ré$\sharp$ et la$\sharp$
    • Entre fa et do
    • Entre la$\sharp$ et fa
  • Pour les sixtes mineures (8 demi-tons) : 2
    • Entre mi et do
    • Entre sol et ré$\sharp$
  • Pour les sixtes majeures (9 demi-tons) : 3
    • Entre ré$\sharp$ et do
    • Entre sol et mi
    • Entre la$\sharp$ et sol
  • Pour les septièmes mineures (10 demi-tons) : 3
    • Entre do et la$\sharp$
    • Entre fa et ré$\sharp$
    • Entre sol et fa
  • Pour les septièmes majeures (11 demi-tons) : 2
    • Entre mi et ré$\sharp$
    • Entre fa et mi
  • Pour les octaves (12 demi-tons) : 6. Puisqu’il y a 6 notes, il y a nécessairement 6 octaves (de do à do, de ré$\sharp$ à ré$\sharp$, etc.). D’après les hypothèses utilisées, ce résultat est en fait redondant avec le premier terme puisque nous considérons un unisson comme une octave (équivalence entre aigu, médium, grave).

Finalement, on obtient $\big[6,2,3,3,2,4,|2|,4,2,3,3,2,6\big]$ comme contenu intervallique avec une symétrie par rapport au $|2|$ qui est le nombre d’intervalles composés de 6 demi-tons.

La transposition et l’inversion

La troisième et dernière étape est de définir mathématiquement deux outils utilisés en musique : la transposition et l’inversion.

Par définition, la transposition de $k$ demi-tons d’une note $x$ est la note $x+k$. Par exemple, la transposition de 3 demi-tons de mi (4) est sol ($4+3=7$). Si la note obtenue est plus grande que 11, il faut soustraire 12 autant de fois que possible pour obtenir un nombre entre 0 et 11. Par exemple, la transposition de 4 demi-tons de si (11) est ré$\sharp$ (3) puisque $11+4=15$, auquel on enlève une fois 12 pour obtenir $15-12=3$. Graphiquement, une transposition correspond à une rotation d’angle égal au nombre de demi-tons $k$ (c’est à dire $k\times 30°$) dans le sens horaire.

L’inversion est quant à elle définie par rapport à une note arbitrairement choisie, souvent le do. Elle consiste alors à inverser toutes les notes par rapport à l’« axe » do-fa$\sharp$. Mathématiquement, l’inversion d’une note $x$ s’obtient en calculant $12-x$ (auquel on additionne ou soustrait 12 si le résultat n’est pas compris entre 0 et 11). De manière graphique, une inversion se traduit par une symétrie par rapport à la droite passant par do et le centre de l’horloge.

Appliquons une transposition de 3 demi-tons à mi ou inversons mi.

Transposition et inversion de mi

La note mi (gauche) est transposée de trois demi-tons ascendants pour obtenir sol (milieu) ; ou inversée pour obtenir sol$\sharp$

Nous pouvons donc transposer ou inverser un ensemble de notes. Les trois figures suivantes illustrent une transposition de 3 demi-tons et une inversion sur l’hexacorde 1.

Hexacorde (gauche), sa transposition de trois demi-tons (centre) et son inversion (droite).

La première figure ci-dessous décompose en trois étapes la rotation de l’hexacorde 1 pour une transposition de 3 demi-tons. La seconde permet de se rendre compte de la symétrie d’axe « do-fa$\sharp$ » pour une inversion.

Illustration de la rotation pour une transposition de 3 demi-tons

Illustration de la symétrie après inversion

Il peut être intéressant de vérifier que le contenu intervallique est invariant par transposition et par inversion. Autrement dit, si vous énumérez le nombre d’apparitions de chaque intervalle des hexacordes des figures ci-dessus, vous allez obtenir le même que celui calculé précédemment : $\big[6,2,3,3,2,4,2\big]$.

Explications mathématiques

Les transpositions et les inversions sont en fait les éléments du groupe diédral $D_{12}$ sur le dodécagone régulier (l’horloge à 12 côtés). Ce sont donc des isométries qui conservent les distances.

Il s’avère que les transpositions et les inversions ne sont pas les seules opérations à laisser invariant le contenu intervallique. C’est ce qu’illustre le théorème de l’hexacorde.

Le théorème de l’hexacorde

On reprend encore une fois l’hexacorde 1 do-re$\sharp$-mi-fa-sol-la$\sharp$ introduit au début et on rappelle que son contenu intervallique est $\big[6,2,3,3,2,4,2\big]$. Considérons alors l’hexacorde 2 do$\sharp$-ré-fa$\sharp$-sol$\sharp$-la-si, complémentaire de 1 et calculons son contenu intervallique.

Le lecteur est invité à suivre le raisonnement effectué ci-dessus pour l’hexacorde 1 afin de calculer lui-même le contenu intervallique de l’hexacorde 2 do$\sharp$-ré-fa$\sharp$-sol$\sharp$-la-si. Pas de panique... les dépliants ci-après peuvent vous aider !

Aide

Si vous ne savez pas comment faire pour calculer le contenu intervallique de l’hexacorde 2 , voici une liste à suivre. Les réponses détaillées sont données dans le dépliant suivant.

  • Ecrire l’hexacorde 2 de manière mathématique (avec des chiffres !)
  • Dessiner l’hexacorde 2 sur une horloge
  • S’aider du tableau et de l’horloge pour énumérer le nombre d’apparitions de chaque intervalle
  • Ecrire les résultats entre crochets (les 7 premiers suffisent)

Réponse détaillée

La représentation mathématique de l’hexacorde 2 est : $\{1,2,6,8,9,11\}$ et le voici sur l’horloge :

Représentation de l’hexacorde 2

Ceci va nous permettre d’énumérer le nombre d’apparitions de chaque intervalle :

  • Pour les unissons (0 demi-ton) : il y a 6 notes, donc il y a 6 unissons.
  • Pour les secondes mineures (1 demi-ton) : 2
    • Entre do$\sharp$ et
    • Entre sol$\sharp$ et la
  • Pour les secondes majeures (2 demi-tons) : 3
    • Entre fa$\sharp$ et sol$\sharp$
    • Entre la et si
    • Entre si et do$\sharp$
  • Pour les tierces mineures (3 demi-tons) : 3
    • Entre fa$\sharp$ et la
    • Entre sol$\sharp$ et si
    • Entre si et
  • Pour les tierces majeures (4 demi-tons) : 2
    • Entre et fa$\sharp$
    • Entre la et do$\sharp$
  • Pour les quartes justes (5 demi-tons) : 4
    • Entre do$\sharp$ et fa$\sharp$
    • Entre fa$\sharp$ et si
    • Entre sol$\sharp$ et do$\sharp$
    • Entre la et
  • Pour les quintes diminuées (6 demi-tons) : 2. Il faut en effet compter l’intervalle entre et sol$\sharp$ PUIS celui entre sol$\sharp$ et .

Au final, on obtient \[[6,2,3,3,2,4,2]\] comme contenu intervallique de l’hexacorde 2. C’est le même que celui de l’hexacorde 1.

On trouve effectivement le même contenu intervallique pour l’hexacorde 2 que pour son complémentaire l’hexacorde 1. Il convient de remarquer ici que l’hexacorde 2 n’est l’image de l’hexacorde 1 ni par transposition, ni par inversion. Sa représentation sur l’horloge n’est en effet, ni une rotation, ni une symétrie de celle de l’hexacorde 1. Ce résultat, qui n’est pas un cas exceptionnel dû à l’exemple choisi et qui peut se généraliser, conduit à l’énoncé du théorème de l’hexacorde.

Théorème de l’hexacorde : Deux hexacordes complémentaires possèdent le même contenu intervallique.

À vous de jouer !

Vous pensez que l’exemple choisi l’a été justement parce qu’il permet de vérifier le théorème de l’hexacorde ? Avant de le démontrer, nous vous proposons de le tester sur des exemples que VOUS aurez choisis grâce aux deux horloges interactives ci-dessous.

Utilisation

Nous recommandons aux lecteurs d’utiliser Chrome pour utiliser ces horloges (les résultats avec d’autres navigateurs sont incertains).

Choisissez, en cliquant dessus, six notes sur l’horloge du haut. L’horloge du bas représentant l’hexacorde complémentaire s’adaptera automatiquement. Le contenu intervallique s’affiche alors sur la seconde ligne (contenu).

Pour refaire un exemple, cliquez sur les six notes précédemment choisies pour les annuler puis vous pouvez recommencer.

Le but est de voir que la seconde ligne du tableau du haut est la même que celle du tableau du bas, quels que soient les exemples choisis.

Envie d’aller plus loin ?

En fait, le théorème de l’hexacorde se généralise. En vous aidant des horloges interactives, pouvez-vous découvrir le lien entre un accord de $k$ (pas forcément 6) notes et son complémentaire ? Vous pouvez, par exemple, commencer par essayer de trouver le lien entre un accord de 3 notes et son complémentaire de 9 notes.

Réponse

La différence des deux contenus intervalliques est constante égale à 9-3=6.

En fait, le théorème de l’hexacorde généralisé [Bayette] affirme que la différence de deux contenus intervalliques de deux accords complémentaires est constante égale à la différence des deux cardinalités. Le résultat du théorème de l’hexacorde « normal » se retrouve puisque la différence des deux cardinalités est égale à 6-6=0. Et donc les deux contenus intervalliques sont égaux.

Démonstration du théorème

Basée essentiellement sur la représentation en horloge d’un hexacorde, nous reprenons ici la très élégante démonstration du mathématicien Blau [Blau] qui n’utilise aucune formule mathématique.
Pour faciliter sa compréhension donnons dès maintenant une vue générale de la preuve du théorème, elle va se faire en trois étapes :

  • Le théorème est évident sur le cas particulier où l’hexacorde 1 est représenté sur l’horloge par $\{1,2,3,4,5,6\}$ et l’hexacorde 2, complémentaire de 1, par $\{7,8,9,10,11,0\}$.
  • Puis, nous allons construire deux hexacordes complémentaires vérifiant le théorème de l’hexacorde.
  • Enfin, nous allons montrer que les permutations ne modifient pas les contenus intervalliques, ou les modifient de manière identique. Ainsi, deux hexacordes complémentaires obtenus depuis deux autres hexacordes complémentaires vérifiant le théorème de l’hexacorde vérifient eux-mêmes le théorème de l’hexacorde.

Suivons alors ce déroulement pour prouver le théorème.

Étape 1 : Cas particulier

Considérons deux hexacordes complémentaires. Notons les $\mathcal{H}$ (qui jouera le rôle de l’hexacorde 1, composé de 6 $H$) et $\mathcal{K}$ (qui jouera le rôle de l’hexacorde 2, complémentaire de l’hexacorde 1 et composé de 6 $K$). Prenons comme représentation sur l’horloge la représentation suivante :

Cas particulier

où : $\mathcal{H}=\{1,2,3,4,5,6\}$ et $\mathcal{K}=\{7,8,9,10,11,0\}$
Par symétrie, le nombre d’occurrences de chaque intervalle dans $\mathcal{H}$ est le même que celui dans $\mathcal{K}$. Les deux hexacordes représentés ci-dessus ont évidemment des contenus intervalliques identiques : ils satisfont le théorème de l’hexacorde.

Étape 2 : Construction de deux hexacordes complémentaires quelconques vérifiant le théorème de l’hexacorde

Après une suite de permutations depuis le cas particulier, nous choisissons de représenter les deux hexacordes $\mathcal{H}$ et $\mathcal{K}$ respectivement par les notes $\{0, 1, 4, 5, 8, 11\}$ et $\{2, 3, 6, 7, 9, 10\}$ dont la représentation sur l’horloge est la suivante :

Représentation obtenue après permutations

Les contenus intervalliques sont respectivement : $\big[6, 3, 1, 3, 4, 3, 1\big]$ et $\big[6, 3, 1, 3, 4, 3, 1\big]$. Les deux contenus intervalliques sont les mêmes : on vérifie bien le théorème de l’hexacorde.

Il semblerait donc que deux hexacordes complémentaires obtenus par une suite de permutations depuis deux hexacordes complémentaires vérifiant le théorème de l’hexacorde, vérifient également le théorème de l’hexacorde.

Dès lors, le lemme suivant permet de conclure la démonstration : Supposons que deux hexacordes complémentaires $\mathcal{H}$ et $\mathcal{K}$ aient le même contenu intervallique, alors les hexacordes obtenus en permutant des paires de $H$ et de $K$ ont également le même contenu intervallique.

Étape 3 : Le théorème reste vrai après permutations

Parmi les trois figures ci-dessous, celle de gauche représente l’horloge des deux hexacordes complémentaires alors que la figure centrale représente l’horloge où les lettres soulignées (choisies arbitrairement, un $\underline{H}$ et un $\underline{K}$) ont été permutées. Les 10 éléments restants forment donc 5 paires (figure de droite) : considérons les paires formées par les deux lettres obtenues en partant de $\underline{H}$ et de $\underline{K}$ et en ajoutant le même nombre de demi-tons de chaque côté (chaque couleur représente une paire différente).

Représentation avant et après permutations. Les 5 différentes paires formées

Comme le montre les figures suivantes, il y a quatre (et pas cinq) possibilités de nouvelle paire : nous pouvons obtenir deux $H$, deux $K$, un $H$ et un $K$, ou un $K$ et un $H$. Il faut en effet remarquer qu’il y a plus de paires formées que de formes de nouvelles paires possibles. De plus, il suffit de ne regarder que les intervalles contenant les deux notes échangées, les autres restant inchangés. Considérons les quatre cas différents (le code couleur reprend celui de la figure de droite ci-dessus) :

Les différentes paires possibles

  • Si la paire contient deux $H$ (cas rouge), alors la permutation change deux intervalles dans le contenu intervallique de $\mathcal{H}$ : les longueurs 3 et 4 de deux intervalles deviennent respectivement 4 et 3. Les nombres d’intervalles de chaque longueur ne sont donc pas modifiés : le contenu intervallique de $\mathcal{H}$ est inchangé. Puisqu’aucun $K$ n’était concerné, le contenu intervallique de $\mathcal{K}$ n’a pas été modifié.
  • Par un argument identique, si la paire contient deux $K$ (cas vert), les deux contenus intervalliques ne sont pas modifiés.
  • Si la lettre la plus proche du $\underline{H}$ est aussi un $H$ et l’autre lettre un $K$ (cas bleu), alors les deux contenus intervalliques sont modifiés, mais de manière identique. En effet, dans chaque contenu, un intervalle de longueur 4 devient un intervalle de longueur 5. L’égalité des contenus est donc conservée.
  • Le dernier cas (gris) est l’inverse de celui ci-dessus.

Ainsi, dans tous les cas, les permutations ont les mêmes effets sur chaque contenu intervallique : l’égalité des contenus intervalliques est toujours valide. Le lemme est démontré.

Bilan de la preuve

Nous avons donc montré que :

  • Le cas trivial vérifie le théorème de l’hexacorde (Étape 1).
  • Deux hexacordes complémentaires, obtenus après permutations depuis deux autres hexacordes complémentaires vérifiant le théorème de l’hexacorde, vérifient eux-mêmes le théorème de l’hexacorde. Autrement dit, les permutations n’ont pas d’effet sur l’égalité des contenus intervalliques (Étapes 2 et 3).

Or, toute configuration de deux hexacordes complémentaires peut-être obtenue, grâce à une succession de permutations, depuis le cas trivial.

Petite explication sur un exemple

Reprenons l’hexacorde $\{0, 1, 4, 5, 8, 11\}$ (celui représenté par des $H$) utilisé dans cette preuve, son complémentaire est $\{2, 3, 6, 7, 9, 10\}$ (celui avec des $K$).

Le but est de montrer que l’on peut partir de $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ (le cas trivial) et d’arriver à $\{0, 1, 4, 5, 8, 11\}$ grâce à des permutations.

  • ÉTAPE 0 : On part de $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ avec son complémentaire $\{7, 8, 9, 10, 11, 0\}$.
  • ÉTAPE 1 : On permute le $H$ sur 1 et le $K$ sur 0, on obtient : $\{0, 2, 3, 4, 5, 6\}$ et son complémentaire $\{1, 7, 8, 9, 10, 11\}$. Puis on permute le $H$ sur 0 et le $K$ sur 11, on obtient : $\{2, 3, 4, 5, 6, 11\}$ et son complémentaire $\{0, 1, 7, 8, 9, 10\}$. Le GIF détaille cette étape :

    Illustration de l’étape 1

  • ÉTAPE 2 : On effectue le même raisonnement sur les deux $H$ aux positions 2 et 3 du cas trivial pour les amener aux positions 0 et 1 respectivement. On obtient : $\{0, 1, 4, 5, 6, 11\}$ avec comme complémentaire $\{2, 3, 7, 8, 9, 10\}$.
  • ÉTAPE 3 : On ne touche pas aux $H$ aux positions 4 et 5.
  • ÉTAPE 4 : On termine en faisant passer le $H$ de la position 6 du cas trivial à la position 8 grâce à deux permutations successives (en passant par 7). On obtient : $\{0, 1, 4, 5, 8, 11\}$ et son complémentaire $\{2, 3, 6, 7, 9, 10\}$.

Remarque : Le fait de modifier l’hexacorde modifie automatiquement son complémentaire. De plus, la méthode n’est pas unique : à chaque étape, d’autres choix de permutations auraient pu être faits (vous pouvez, pour cela, utiliser les horloges interactives et essayer vous-même). Enfin, il est clair que l’on aurait pu inverser le raisonnement, c’est à dire partir de $\{0, 1, 4, 5, 8, 11\}$ pour arriver à $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Dès lors, le cas trivial vérifiant le théorème de l’hexacorde, toute configuration de deux hexacordes complémentaires le vérifie également.
La démonstration est alors complète : ce qui termine la preuve du théorème de l’hexacorde.

Pour aller plus loin...

L’approche présentée ici peut être formulée de manière encore plus rigoureuse d’un point de vue mathématique, il faut pour cela utiliser des notions de groupe cyclique, de congruence, de fonctions et d’ensembles.

Plusieurs approches mathématiques peuvent être choisies pour définir la musique. Lewin utilisa principalement l’algèbre pour définir la Set theory, notion à la base de la formulation rigoureuse de la musique. D’un point de vue analytique, il a été montré que le contenu intervallique peut-être défini comme un produit de convolution de transformées de Fourier discrètes.

En outre, des démonstrations algébriques, analytiques et géométriques du théorème de l’hexacorde existent [Bayette]. Il est également possible de généraliser et prouver le théorème de nombreuses manières : avec deux accords complémentaires de taille différente, avec plus de 12 notes, etc. Il existe même une généralisation au cas continu [MGAAA] du théorème de l’hexacorde.

Post-scriptum :

L’auteur souhaite particulièrement remercier Moreno Andreatta et Corentin Guichaoua (le concepteur des horloges interactives) pour leur soutien, leur confiance et leur aide.

Il souhaite également remercier tous les relecteurs dont les noms ou les pseudos sont Ulysse, Rémi Molinier, rgugliel, Sébastien Peronno, subshift pour leurs remarques et pour leurs critiques fortes utiles à l’amélioration de cet article.

Article édité par Nils Berglund

Notes

[AndreattaM. Andreatta. Une introduction à la Set Theory : les concepts à la base des théories d’Allen Forte et de David Lewin. Musurgia (Vol. 10), 2003, p. 73–92.

[LewinD. Lewin. Generalized Musicals Intervals and Transformations. Oxford University Press, 1987, Chap. 2-3-5-6.

[RahnJ. Rahn. Basic Atonal Theory. Longman, 1980. Chap. 2–3.

[BayetteC. Bayette, Théorème de l’hexacorde : démonstrations, généralisations, développements, Université de Strasbourg, 2018.

[BlauS. Blau. The Hexachordal Theorem : A Mathematical Look at Interval Relations in Twelve-Tone Composition. Mathematics Magazine (Vol. 72), 1999, p. 310–313.

[MGAAAJ. Mandereau, D. Ghisi, E. Amiot, M. Andreatta, C. Agon. Z-relation and homometry in musical distributions. Journal of Mathematics and Music (Vol. 5), 2011, p. 83–98.

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Pour citer cet article :

Corentin Bayette — «Mathémusique : Introduction au théorème de l’hexacorde» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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