Un desafío por semana

Mayo 2014, cuarto desafío

Le 23 mai 2014  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 28 mai 2014
Article original : Mai 2014, 4ème défi Voir les commentaires
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2014. Su solución aparecerá cuando se publique el siguiente desafío.

Semana 21 :

A un cubo sólido de $2\,cm$ de lado se le quita todas las pirámides con un vértice que sea un vértice del cubo y con los otros tres vértices sobre las aristas del cubo, a $1\,cm$ del primer vértice. ¿Cuántos vértices tiene el nuevo poliedro ?

Solución del tercer desafío de mayo

Enunciado

La respuesta es $1+\sqrt{2}$ .

Se desea encontrar un número cuyo inverso es igual a sí mismo menos su parte entera. Si $n$ es el número buscado y $\lfloor n\rfloor$ designa su parte entera, esto se escribe $\frac{1}{n}=n-\lfloor n\rfloor$. Multiplicando esta ecuación por $n$ se obtiene $1=n(n-\lfloor n\rfloor)$, es decir, $n^2-\lfloor n\rfloor n-1=0$. Al resolver esta ecuación de segundo grado en $n$, se tiene

\[n=\frac{\lfloor n\rfloor\pm\sqrt{ \lfloor n\rfloor^2+4}}{2}.\]

Si $ \lfloor n\rfloor=1 $ se obtiene el número $n=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1{,}618033989\ldots$ ; si $ \lfloor n\rfloor=2$ se obtiene $n=\frac{2\,\pm \, 2\sqrt{2}}{2}=1\pm \sqrt{2} $ . Si $n=1-\sqrt{2}$ , su parte natural es nula, que no es lo que se busca. Si $n=1+\sqrt{2}=1{,}414213566\dots$ , entonces $\frac{1}{n}=0{,}414213566\ldots$ tiene la propiedad deseada.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2014 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos : Étienne Ghys - Ilustraciones : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Article original édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

— «Mayo 2014, cuarto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - ’’La esfera cornuda de Alexander’’, por Jos Leys

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