Un desafío por semana

Mayo 2014, primer desafío

El 2 mayo 2014  - Escrito por  Ana Rechtman
El 2 mayo 2014
Artículo original : Mai 2014, 1er défi Ver los comentarios
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2014. Su solución aparecerá cuando se publique el siguiente desafío.

Semana 18:

Para cada pareja de números naturales $a$ y $b$, se define una operación $a\otimes b$ que verifica las siguientes propiedades:

$a\otimes a=a+2$

$a\otimes b=b\otimes a$

$\frac{a\otimes (a+b)}{a\otimes b}=\frac{a+b}{b}.$

Determinar el valor de $8\otimes 5$.

Solución del cuarto desafío de abril

Enunciado

La respuesta es 4.

Llamemos a tres pares naturales consecutivos $2n-2$, $2n$, $2n+2$. Se tiene entonces

$(2n-2)^2+(2n)^2+(2n+2)^2 = 4n^2-8n+4+4n^2+4n^2+8n+4$

$= 12n^2+8$

$= 4(3n^2+2).$

Por lo tanto, $4$ divide la suma.
Por otra parte, para ver si 4 es el más grande divisor posible, consideremos los triples $(2, 4, 6)$ y $(4, 6, 8)$. Tenemos entonces

$2^2+4^2+6^2 = 56$

$4^2+6^2+8^2 = 116.$

Vemos que el más grande común divisor de esos dos números es $4$.
En consecuencia, el mayor número natural que divide la suma de los cuadrados de tres números pares consecutivos cualesquiera es $4$.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2014 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos: Étienne Ghys - Ilustraciones: Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Artículo original editado por Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

— «Mayo 2014, primer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - ’’La esfera cornuda de Alexander’’, por Jos Leys

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