Un desafío por semana

Mayo 2014, tercer desafío

Le 16 mai 2014  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 19 mai 2014
Article original : Mai 2014, 3ème défi Voir les commentaires
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2014. Su solución aparecerá cuando se publique el siguiente desafío.

Semana 20 :

El número $N=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1{,}618033989\ldots$ tiene la propiedad de que su inverso es igual a su parte decimal, lo que se traduce en que
$\frac{1}{N}=0{,}618033989\ldots$. Encontrar otro número que tenga esta propiedad.

Solución del segundo desafío de mayo

Enunciado

La respuesta es $21\sqrt{2}$ cm.

Como $FB=FE$, se concluye que los ángulos $\widehat{EBF}$ y $\widehat{FEB}$ son iguales. De modo análogo, la igualdad $AE=AB$ implica $\widehat{BEA}=\widehat{ABE}$, y por lo tanto $\widehat{ABF}=\widehat{ABE}+\widehat{EBF}=\widehat{BEA}+\widehat{FEB}=\widehat{FEA}$.

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Como $\widehat{ABF}=90^\circ$, se tiene $\widehat{FEA}=90^\circ$. Además, vista la igualdad $EC=CF$, se obtiene $\widehat{CEF}=45^{\circ}$, y en consecuencia $\widehat{AED}=180^{\circ}-\widehat{FEA}-\widehat{CEF}=180^{\circ}-90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ},$
y el triángulo $AED$ es isósceles. Por lo tanto, se tiene $ED=AD=21\,cm$. Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo $ADE$, se obtiene $AE^2=AD^2+ED^2=2AD^2=2(21)^2$, de donde $AE=21\sqrt{2}\,cm$. En consecuencia $AB=AE=21\sqrt{2}\,cm$.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2014 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos : Étienne Ghys - Ilustraciones : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Article original édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

— «Mayo 2014, tercer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - ’’La esfera cornuda de Alexander’’, por Jos Leys

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