Un desafío por semana

Mayo 2015, primer desafío

El 1ro mayo 2015  - Escrito por  Ana Rechtman
El 1ro mayo 2015
Artículo original : Mai 2015, 1er défi Ver los comentarios
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2015 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 18:

Ubicar los números del $1$ al $9$ en los círculos de manera que cada número al interior de un triángulo sea la suma de los números de los tres círculos que lo rodean.

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Solución del cuarto desafío de abril:

Enunciado

La respuesta es $4\sqrt{3}$ cm.

Tracemos los segmentos $PA$, $PB$ y $PC$, que dividen al triángulo $ABC$ en tres triángulos $ABP$, $PBC$ y $PCA$ donde las alturas miden respectivamente $1$ cm, $2$ cm y $3$ cm.

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Sean $a$ la medida del lado y $h$ la altura del triángulo equilátero $ABC$, entonces su área es igual a $\frac{a\times h}{2}$. Por otra parte, el área del triángulo $ABC$ es igual a la suma de los triángulos $ABP$, $PBC$ y $PCA$, es decir:

$\frac{a\times h}{2} = \frac{a\times 1}{2}+\frac{a\times 2}{2}+\frac{a\times 3}{2}$

$a\times h = a+2a+3a$

$h = 6.$

Por lo tanto, la altura del triángulo $ABC$ mide $6$ cm. Como el triángulo $ABC$ es equilátero, la altura divide este en dos triángulos rectángulos donde los lados miden $h$ y $\frac{a}{2}$, y donde la hipotenusa mide $a$. Entonces, aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos:

$ ( \frac{a}{2})^2 + 6^2 = a^2 $

$\frac{a^2}{4} +36 = a^2$

$\frac{3}{4}a^2 = 36$

$a = \sqrt{48} = 4\sqrt 3.$

Por lo tanto, el lado del triángulo $ABC$ mide $4\sqrt 3$ cm.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2015 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos: Ian Stewart. 2014, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Artículo original editado por Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

— «Mayo 2015, primer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - Makarova Viktoria / SHUTTERSTOCK

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