Enunciado

La respuesta es $4\sqrt{3}$ cm.

Tracemos los segmentos $PA$, $PB$ y $PC$, que dividen al triángulo $ABC$ en tres triángulos $ABP$, $PBC$ y $PCA$ donde las alturas miden respectivamente $1$ cm, $2$ cm y $3$ cm.

Sean $a$ la medida del lado y $h$ la altura del triángulo equilátero $ABC$, entonces su área es igual a $\frac{a\times h}{2}$. Por otra parte, el área del triángulo $ABC$ es igual a la suma de los triángulos $ABP$, $PBC$ y $PCA$, es decir :

$\frac{a\times h}{2} = \frac{a\times 1}{2}+\frac{a\times 2}{2}+\frac{a\times 3}{2}$

$a\times h = a+2a+3a$

$h = 6.$

Por lo tanto, la altura del triángulo $ABC$ mide $6$ cm. Como el triángulo $ABC$ es equilátero, la altura divide este en dos triángulos rectángulos donde los lados miden $h$ y $\frac{a}{2}$, y donde la hipotenusa mide $a$. Entonces, aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos :

$ ( \frac{a}{2})^2 + 6^2 = a^2 $

$\frac{a^2}{4} +36 = a^2$

$\frac{3}{4}a^2 = 36$

$a = \sqrt{48} = 4\sqrt 3.$

Por lo tanto, el lado del triángulo $ABC$ mide $4\sqrt 3$ cm.