Un desafío por semana

Mayo 2015, quinto desafío

Le 29 mai 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 29 mai 2015
Article original : Mai 2015, 5e défi Voir les commentaires
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2015 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 22 :

Si escogemos un punto $P$ en un plano cartesiano contenido en un rectángulo cuyos vértices son los puntos $(0,0)$, $(2,0)$, $(2,1)$ y $(0,1)$, ¿cuál es la probabilidad de que $P$ esté más cerca del origen que del punto $(3,1)$ ?

Solución del cuarto desafío de mayo :

Enunciado

La respuesta es $5$ conjuntos.

Sea $\{u,v,x,y\}$ un conjunto ordenado intercambiable, entonces podemos suponer

$(10v+u)(10x+y) = (10u+v)(10y+x) $

$10^2 v x+10 v y+10 u x+u y = 10^2 u y+10 u x+10 v y+v x $

$99v x = 99u y$

$v x = u y.$

Por lo tanto, el producto entre el primer y el cuarto número del conjunto es igual al producto entre el segundo y el tercero. Notemos que los primos $5$ y $7$ no pueden formar parte del conjunto. Si el elemento más grande es $4$ entonces el único conjunto posible es $\{1,2,3,4\}$ el cual no es intercambiable.
Por lo que el conjunto debe contener al menos los dígitos $6$, $8$ o $9$.

Si el mayor elemento es $6$, entonces $3$ y otro dígito par debe estar en el conjunto. Tenemos así los siguientes conjuntos intercambiables : $\{1,2,3,6\}$ o $\{2,3,4,6\}$.

Supongamos que el mayor elemento es $8$. entonces $4$ debe ser otro elemento par del conjunto. Como $8=2^3$ y $4=2^2$, los únicos conjuntos intercambiables que tenemos, dada la ecuación $v x = u y$, son $\{3,4,6,8\}$ y $\{1,2,4,8\}$.

Supongamos que el mayor elemento es $9$. Como uno de los números de la ecuación $v x = u y$ debe ser un múltiplo de $9$, deducimos que el otro lado de la igualdad debe tener al $3$ y al $6$. En este caso, el único conjunto intercambiable es $\{2,3,6,9\}$.

Por lo tanto, hay un total de $5$ conjuntos intercambiables de $4$ dígitos.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2015 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos : Ian Stewart. 2014, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Article original édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

— «Mayo 2015, quinto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - Makarova Viktoria / SHUTTERSTOCK

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