Un desafío por semana

Mayo 2015, segundo desafío

El 8 mayo 2015  - Escrito por  Ana Rechtman
El 8 mayo 2015
Artículo original : Mai 2015, 2ème défi Ver los comentarios
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2015 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 19:

Encontrar los valores de los enteros positivos $a$, $b$, $c$, $d$ y $e$, estrictamente mayores que $1$, que satisfacen las igualdades

$a(b+c+d+e) = 128$

$b(a+c+d+e) = 155$

$c(a+b+d+e) = 203$

$d(a+b+c+e) = 243$

$e(a+b+c+d) = 275.$

Solución del primer desafío de mayo:

Enunciado

Denotemos como $a, b, c, d, e, f, g, h$ e $i$ a los números de cada círculo como muestra la figura de abajo:

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Calculemos la suma de los números al interior del triángulo:

$18+15+10+14+15+13+14+15 =114.$

Si calculamos esta suma con los números de los círculos, podemos observar que cada número que está en un círculo (excepto por $i$) va a ser contado dos veces, una vez por cada triángulo al que pertenezca. El número $i$ va a ser contado $8$ veces porque forma parte de los $8$ triángulos. Por otra parte, sabemos que $a+b+c+d+e+f+g+h+i=1+2+\cdots +9=45$, porque podemos utilizar solamente los números del $1$ al $9$. Entonces,

$2a+2b+2c+2d+2e+2f+2g+2h+8i = 114$

$90+6i = 114$

$6i = 24$

$i = 4.$

Ahora, sabemos que $c+4+d=10$, de donde $c+d=6$, pero $c$ y $d$ no pueden valer ni $4$ o ambos valer $3$, entonces uno de los dos vale $5$ y el otro $1$. Si $c=1$, entonces $b=10$ y esto es imposible. Por lo que, $c=5$ y $d=1$. No es difícil ver que todos los otros números ya quedan determinados.

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Post-scriptum :

Calendario Matemático 2015 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos: Ian Stewart. 2014, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Artículo original editado por Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

— «Mayo 2015, segundo desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - Makarova Viktoria / SHUTTERSTOCK

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