Un desafío por semana

Mayo 2016, primer desafío

El 6 mayo 2016  - Escrito por  Ana Rechtman
El 6 mayo 2016
Artículo original : Mai 2016, 1er défi Ver los comentarios
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2016 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 19 :

Sean $x$, $y$ y $z$ números reales distintos de cero tales que $3x+2y=z$ y $\frac{3}{x}+\frac{1}{y}=\frac{2}{z}.$
Encontrar el valor de $5x^2 - 4y^2 - z^2$.

Solución del quinto desafío de abril:

Enunciado

La respuesta es para todo $n$ entero positivo.

Los primeros valores que obtenemos son $0$, $4$, $20$, $64$, lo que sugiere que $3^n-2n-1$ es siempre divisible por $4$.

Supongamos primero que $n$ sea par y escribamos $n=2m$. Tenemos entonces

$3^{2m}- 4m -1 = 3^{2m} -1 - 4m$

$ = (3^{m} -1)(3^{m} +1) - 4m,$

y como los números $(3^{m} -1)$ y $(3^{m} +1)$ son pares, su producto es divisible por $4$. Por lo tanto, $4$ siempre divide a $3^n-2n-1$ si $n$ es par.

Si ahora $n$ es impar, podemos escribirlo de la forma $n=2m+1$. Tenemos

$3^{2m+1}- 2(2m+1) -1 = 3\times 3^{2m} - 4m-2-1$

$ = 3(3^{2m} -1) - 4m$

$ = 3(3^{m} -1)(3^{m} +1)- 4m,$

y por el mismo argumento anterior, $4$ siempre divide a $(3^{m} -1)(3^{m} +1)$, y por lo tanto a $3^{2m+1}- 2(2m+1) -1$.

Luego, $4$ divide $3^n-2n-1$ para todo $n$.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2016 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos: Ian Stewart.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

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Para citar este artículo:

— «Mayo 2016, primer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

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