Un desafío por semana

Mayo 2017, segundo desafío

El 12 mayo 2017  - Escrito por  Ana Rechtman
El 12 mayo 2017
Artículo original : Mai 2017, 2e défi Ver los comentarios
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2017 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 19 :

Determinar el menor entero positivo $x$ tal que $2x$ sea un cuadrado y $3x$ sea un cubo.

Solución del primer desafío de mayo:

Enunciado

La respuesta es $145$.

Como el número de Zoé tiene dos dígitos, el mayor número que puede obtener Isabel es $9^2+9^2=162$, por lo que este tiene $1$, $2$ o $3$ dígitos.

  • Si el número de Isabel tiene solo un dígito, entonces a lo más es $9$, y el número de Javier es entonces a lo más $9^2=81$. Por otra parte, este resultado es posible si, por ejemplo, Zoé escogió $30$.
  • Si el número de Isabel tiene dos dígitos, este es a lo más $99$. Pero $99$ no es la suma de dos cuadrados perfectos, por lo que el número de Isabel es a los más $98=7^2+7^2$. Este último puede obtenerse si Zoé escogió $77$. En este caso, el número de Javier es $9^2+8^2= 145$, y es el máximo que puede obtener de un número de dos dígitos.
  • Si el número de Isabel tiene tres dígitos, entonces el primero es un $1$, y el número es a lo más $162$. En este caso, el número que nos da la mayor suma de los cuadrados de sus dígitos es $159$, y su suma vale $1^2+5^2+9^2=107$, la cual es menor a $145$.

En conclusión, el mejor de los casos es el segundo. Por lo tanto, el mayor número que puede obtener Javier es $145$.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2017 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos: Ian Stewart.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Artículo original editado por Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

— «Mayo 2017, segundo desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

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