Un desafío por semana

Mayo 2017, tercer desafío

Le 19 mai 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 19 mai 2017
Article original : Mai 2017, 3e défi Voir les commentaires
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2017 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 20 :

Utilizamos $125$ cubos pequeños para formar un cubo grande de $5\times 5\times 5$. Los cubos pequeños del exterior están pintados con blanco y negro alternadamente, de manera que los cubos de las esquinas son negros. ¿Cuál es la diferencia entre el número de cubos con caras negras y el número de cubos con caras blancas ?

Solución del segundo desafío de mayo :

Enunciado

La respuesta es $x=72$.

Escribamos al entero como $x=2^a3^bm$, con $m$ primo relativo de $2$ y $3$. Como $2x=2^{a+1}3^bm$ es un cuadrado, los enteros $a+1$ y $b$ son pares y $m$ es un cuadrado. Como $3x=2^{a}3^{b+1}m$ es un cubo, los enteros $a$ y $b+1$ son múltiplos de $3$ y $m$ es un cubo. El menor entero positivo $a$ que cumple ser múltiplo de $3$ y que $a+1$ sea par es el número $3$.
Del mismo modo, el menor entero par $b$ que cumple que $b+1$ sea múltiplo de $3$ es el número $2$. Finalmente, el menor $m$ que sea, a la vez, un cuadrado y un cubo es el número $1$. Por lo tanto, el menor valor de $x$ es $2^3\times 3^2\times 1=72$.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2017 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos : Ian Stewart.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

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Pour citer cet article :

— «Mayo 2017, tercer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - TAWACH / SHUTTERSTOCK

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