Enunciado

La solución es $132$, $264$ y $396$.

Si $a$, $b$ y $c$ son las cifras del número inicial, los números de dos cifras que podemos formar son $10 a + b$, $10 b + a$, $10 a + c$, $10 c + a$, $10 b + c$ y $10 c + b$. Por lo tanto, su suma vale $22(a+b+c)$.

Buscamos entonces los enteros $1 \leq a, b, c \leq 9$, todos diferentes, tales que se tenga $22(a+b+c) = 100 a + 10 b + c$, lo cual podemos escribir de la forma
\[ \begin{eqnarray*} 12 b + 21 c & = & 78 a\\ 4 b + 7c & = & 26 a. \end{eqnarray*} \]
Esta ecuación fuerza a que $c$ sea par. Escribiendo $c = 2c'$, encontramos la ecuación equivalente $2 a + 7c' = 13a$. Puesto que $a$, $b$ y $c$ son dígitos, se tiene $1 \leq a, b \leq 9$ y $1 \leq c' \leq 4$. El número $2b + 7c' = 13a$ es, por lo tanto, un múltiplo de $13$ menor que $2 \times 9 + 7 \times 4 = 46$. Las tres posibilidades son $13$, $26$ y $39$, que corresponden a los valores $1$, $2$ y $3$ para $a$.

• Si $a = 1$, buscamos $1 \leq b \leq 9$ y $1 \leq c' \leq 4$ tales que $2b + 7 c' = 13$, y verificamos que $(b,c') = (3,1)$ es la única solución, la cual corresponde a $c=2$ y al número de tres cifras $132$.

• Si $a = 2$, buscamos $1 \leq b \leq 9$ y $1 \leq c' \leq 4$ tales que $2b + 7 c' = 26$, y verificamos que $(b,c') = (6,2)$ es la única solución, la cual corresponde a $c=4$ y al número de tres cifras $264$.

• Si $a = 3$, buscamos $1 \leq b \leq 9$ y $1 \leq c' \leq 4$ tales que $2b + 7 c' = 39$, y verificamos que $(b,c') = (9,3)$ es la única solución, la cual corresponde a $c=6$ y al número de tres cifras $396$.