Un desafío por semana

Mayo 2019, primer desafío

Le 3 mai 2019  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 3 mai 2019
Article original : Mai 2019, 1er défi Voir les commentaires
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente. ¡El calendario 2019 está en librerías (en Francia) !

Semana 18

La arista del cubo mide $3$ cm. Colocar $X$ sobre $AD$ a una distancia $1$ cm de $A$, $Z$ sobre $GF$ a $1$ cm de $G$, e $Y$ sobre $BE$ a $2$ cm de $B$.

PNG - 13 ko

¿Cuál es el área del triángulo $XYZ$ ?

Solución del cuarto desafío de abril :

Enunciado

La solución es $132$, $264$ y $396$.

Si $a$, $b$ y $c$ son las cifras del número inicial, los números de dos cifras que podemos formar son $10 a + b$, $10 b + a$, $10 a + c$, $10 c + a$, $10 b + c$ y $10 c + b$. Por lo tanto, su suma vale $22(a+b+c)$.

Buscamos entonces los enteros $1 \leq a, b, c \leq 9$, todos diferentes, tales que se tenga $22(a+b+c) = 100 a + 10 b + c$, lo cual podemos escribir de la forma
\[ \begin{eqnarray*} 12 b + 21 c & = & 78 a\\ 4 b + 7c & = & 26 a. \end{eqnarray*} \]
Esta ecuación fuerza a que $c$ sea par. Escribiendo $c = 2c'$, encontramos la ecuación equivalente $2 a + 7c' = 13a$. Puesto que $a$, $b$ y $c$ son dígitos, se tiene $1 \leq a, b \leq 9$ y $1 \leq c' \leq 4$. El número $2b + 7c' = 13a$ es, por lo tanto, un múltiplo de $13$ menor que $2 \times 9 + 7 \times 4 = 46$. Las tres posibilidades son $13$, $26$ y $39$, que corresponden a los valores $1$, $2$ y $3$ para $a$.

  • Si $a = 1$, buscamos $1 \leq b \leq 9$ y $1 \leq c' \leq 4$ tales que $2b + 7 c' = 13$, y verificamos que $(b,c') = (3,1)$ es la única solución, la cual corresponde a $c=2$ y al número de tres cifras $132$.
  • Si $a = 2$, buscamos $1 \leq b \leq 9$ y $1 \leq c' \leq 4$ tales que $2b + 7 c' = 26$, y verificamos que $(b,c') = (6,2)$ es la única solución, la cual corresponde a $c=4$ y al número de tres cifras $264$.
  • Si $a = 3$, buscamos $1 \leq b \leq 9$ y $1 \leq c' \leq 4$ tales que $2b + 7 c' = 39$, y verificamos que $(b,c') = (9,3)$ es la única solución, la cual corresponde a $c=6$ y al número de tres cifras $396$.
Post-scriptum :

Calendario matemático 2019 - Bajo la dirección de Ana Rechtman, con la contribución de Nicolas Hussenot - Textos : Claire Coiffard-Marre y Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Todos los derechos reservados.

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Pour citer cet article :

— «Mayo 2019, primer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Crédits image :

Image à la une - CETUS/SHUTTERSTOCK

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